上册 3.2 微分中值问题 第5题
📝 题目
5．证明下列命题（导数的介值性）．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且有 $f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，且 $x_{1}, x_{2} \in(a, b), f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ，证明在 $x_{1}, x_{2}$ 之间至少存在一点 $\xi$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）若 函 数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 处 处 可 导（端 点 指 单 侧 导 数），$f^{\prime}(a)
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）不妨设 $f_{+}^{\prime}(a)<0, f_{-}^{\prime}(b)>0$ 。
由 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $x \in\left(a, a+\delta_{1}\right)$ 时有 $\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0$ ，从而
$f(x)0, \exists \delta_{2}>0$ ，当 $x \in\left(b-\delta_{2}, b\right)$ 时有 $\displaystyle \frac{f(x)-f(b)}{x-b}>0$ ，从而 $f(x)0$ 。由（1）得证。
直接证明：
设 $F(x)=f(x)-c x$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $F_{+}^{\prime}(a) F_{-}^{\prime}(b)<0$ 。不妨设 $F_{+}^{\prime}(a)>0, F_{-}^{\prime}(b)<0$ ，于是存在 $x_{1} \in U_{+}^{\circ}(a), x_{2} \in U_{-}^{\circ}(b)$ ，且 $x_{1}F(a), F\left(x_{2}\right)>F(b)$ 。
因 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，所以连续。由最值定理，存在一点 $\xi \in(a, b), f(\xi)=\max _{x \in[a, b]}\{f(x)\}$ ，$\xi$ 也是 $F$ 的极大值点，所以有 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f^{\prime}(\xi)=c$ ．
（4）记 $\displaystyle \lambda_{k}=\frac{y_{k}-x_{k}}{\sum_{k=1}^{n} y_{k}-\sum_{k=1}^{n} x_{k}}$ ，则 $\lambda_{k}>0, \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}=1$ ．由中值定理，存在 $x_{k}<\xi_{k}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明（1）：利用导数符号判断函数值大小
不妨设 $f_{+}^{\prime}(a) < 0$，$f_{-}^{\prime}(b) > 0$。由导数定义，$f_{+}^{\prime}(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0$，则存在 $\delta_1 > 0$，当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时，$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0$，从而 $f(x) < f(a)$。同理，由 $f_{-}^{\prime}(b) = \lim_{x \to b^-} \frac{f(x)-f(b)}{x-b} > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时，$\frac{f(x)-f(b)}{x-b} > 0$，从而 $f(x) < f(b)$。
公式：$f_{+}^{\prime}(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意单侧导数的符号与函数值大小的关系：导数小于0意味着函数在右侧附近减小，导数大于0意味着函数在左侧附近减小。
步骤 2/6
目标：证明（1）：利用最值定理和费马定理
由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，故连续，因此 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在最小值。由第一步知，$f(a)$ 和 $f(b)$ 都不是最小值（因为存在点使得函数值更小），所以最小值点 $\xi$ 必在 $(a, b)$ 内。由费马定理，$f^{\prime}(\xi) = 0$。
公式：费马定理：若 $f$ 在 $\xi$ 处可导且取极值，则 $f^{\prime}(\xi)=0$。
提示：注意最小值点必须在开区间内，端点不能是极值点。
步骤 3/6
目标：证明（2）：转化为（1）的情形
不妨设 $x_1 < x_2$，且 $f^{\prime}(x_1) < 0$，$f^{\prime}(x_2) > 0$。考虑区间 $[x_1, x_2]$，则 $f$ 在该区间上可导，且 $f_{+}^{\prime}(x_1) = f^{\prime}(x_1) < 0$，$f_{-}^{\prime}(x_2) = f^{\prime}(x_2) > 0$，满足（1）的条件，故存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$。
提示：注意（2）中区间端点不一定为 $a,b$，但可应用（1）的结论。
步骤 4/6
目标：证明（3）：构造辅助函数
令 $F(x) = f(x) - c x$，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $F^{\prime}(a) = f^{\prime}(a) - c < 0$，$F^{\prime}(b) = f^{\prime}(b) - c > 0$。由（1）知，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$，即 $f^{\prime}(\xi) = c$。
公式：$F^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - c$
提示：辅助函数构造的关键是使得导数差为0对应于 $f^{\prime}(\xi)=c$。
步骤 5/6
目标：证明（4）：应用拉格朗日中值定理
对每个 $k$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_k \in (x_k, y_k)$ 使得 $f(y_k)-f(x_k) = f^{\prime}(\xi_k)(y_k-x_k)$。求和得 $\sum_{k=1}^n (f(y_k)-f(x_k)) = \sum_{k=1}^n f^{\prime}(\xi_k)(y_k-x_k)$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(y)-f(x)=f^{\prime}(\xi)(y-x)$
提示：注意每个 $\xi_k$ 可能不同，且 $\xi_k$ 在 $(x_k, y_k)$ 内。
步骤 6/6
目标：证明（4）：加权平均与导数介值定理
令 $\lambda_k = \frac{y_k-x_k}{\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)}$，则 $\lambda_k > 0$，$\sum \lambda_k = 1$。于是 $\frac{\sum (f(y_k)-f(x_k))}{\sum (y_k-x_k)} = \sum \lambda_k f^{\prime}(\xi_k)$。由于 $f^{\prime}$ 具有介值性（达布定理），存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi) = \sum \lambda_k f^{\prime}(\xi_k)$，代入即得结论。
公式：达布定理：导函数具有介值性
提示：注意 $\xi$ 不一定等于某个 $\xi_k$，但由介值性存在。
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