上册 3.2 微分中值问题 第6题
📝 题目
6．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一阶可导，$f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。证明：
（1）$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）$f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有两个零点．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
不妨设 $f^{\prime}(a)>0, f^{\prime}(b)>0$ ，如图3．1所示：
（1）由 $f^{\prime}(a)>0$ 及极限保号性，在点 $a$ 的某一右邻域 $U_{+}^{\circ}(a)$ 内有 $\displaystyle \frac{f\left(x^{\prime}\right)-f(a)}{x^{\prime}-a}>0$ ．于是 $f\left(x^{\prime}\right)>0, x^{\prime} \in U_{+}^{\circ}(a)$ ，从而存在 $x_{1}>a$ 使
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f154076a-b59e-4725-afd8-e2c01362a0e8-210.jpg?height=889&width=1443&top_left_y=7277&top_left_x=4061}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图3．1}
\end{figure}
$f\left(x_{1}\right)>f(a)=0$.
同理，由 $f^{\prime}(b)>0$ ，存在 $x_{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设导数符号并利用保号性
不妨设 $f'(a)>0$ 且 $f'(b)>0$（若均为负，考虑 $-f(x)$ 即可）。由导数的定义，$f'(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$，根据极限的保号性，存在 $\delta_1>0$，使得当 $x\in(a,a+\delta_1)$ 时，$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$。由于 $f(a)=0$ 且 $x-a>0$，可得 $f(x)>0$。同理，由 $f'(b)>0$，存在 $\delta_2>0$，使得当 $x\in(b-\delta_2,b)$ 时，$\frac{f(x)-f(b)}{x-b}>0$，由于 $x-b<0$，可得 $f(x)<0$。
公式：$f'(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意保号性应用时，分母符号影响不等式方向。
步骤 2/6
目标：构造两个异号点
取 $x_1\in(a,a+\delta_1)$，则 $f(x_1)>0$；取 $x_2\in(b-\delta_2,b)$，则 $f(x_2)<0$。因此 $f(x_1)>0>f(x_2)$。
提示：确保 $x_1$ 和 $x_2$ 在区间内部。
步骤 3/6
目标：应用介值定理证明零点存在
由于 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续（一阶可导蕴含连续），且 $f(x_1)>0$，$f(x_2)<0$，由介值定理，存在 $x_0\in(x_1,x_2)\subset(a,b)$，使得 $f(x_0)=0$。故 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。
公式：介值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，$f(a)f(b)<0$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $f(c)=0$。
提示：注意区间端点顺序，$x_1
步骤 4/6
目标：利用罗尔定理得到第一个导数为零点
由 $f(a)=0$ 和 $f(x_0)=0$，且 $f$ 在 $[a,x_0]$ 上连续，在 $(a,x_0)$ 内可导，根据罗尔定理，存在 $\xi_1\in(a,x_0)$，使得 $f'(\xi_1)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
提示：注意 $x_0$ 是内点，$a
步骤 5/6
目标：利用罗尔定理得到第二个导数为零点
由 $f(x_0)=0$ 和 $f(b)=0$，且 $f$ 在 $[x_0,b]$ 上连续，在 $(x_0,b)$ 内可导，根据罗尔定理，存在 $\xi_2\in(x_0,b)$，使得 $f'(\xi_2)=0$。
公式：罗尔定理
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 互异，因为区间不重叠。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个零点 $\xi_1$ 和 $\xi_2$。
提示：若 $f'(a)$ 和 $f'(b)$ 均为负，可考虑 $-f(x)$，结论不变。
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