上册 3.2 微分中值问题 第7题
📝 题目
7．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一阶可导，$f(x)$ 在 $(a, b)$ 二阶可导，$f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，则
（1）存在 $\theta \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\theta)=0$ ；
（2）对任意 $\alpha \in \mathbf{R}$ ，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)-\alpha f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（3）存在 $\eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=f(\eta)$ ；
（4）存在 $\zeta \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\zeta)=4 f(\zeta)$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
不妨设 $f^{\prime}(a)>0, f^{\prime}(b)>0$ ．
（1）由 $f(a)=f(b)=0$ 知存在 $x_{0}$ 使 $f\left(x_{0}\right)=0$ ．
由中值定理，存在 $\xi_{1} \in\left(a, x_{0}\right)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)-f^{\prime}(a)}{x_{0}-a}<0$ ；
$$
\text { 存在 } \xi_{2} \in\left(x_{0}, b\right) \text { 使得 } f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)-f^{\prime}(b)}{x_{0}-b}>0 \text {. }
$$
根据导数介值定理，存在 $\theta \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\theta)=0$ ．
（2）记 $F(x)=f^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\alpha x}$ ，则 $F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-\alpha x}\left(f^{\prime \prime}(x)-\alpha f^{\prime}(x)\right)$ 。由题 6（1）知 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少存在两个零点。于是 $F(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在两个零点。由罗尔中值定理，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f^{\prime \prime}(\xi)-\alpha f^{\prime}(\xi)=0$.
（3）由已知条件得在 $(a, b)$ 内存在 $x_{0}$ 使 $f\left(x_{0}\right)=0$ ．
记 $g(x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ ，则由 $f(a)=f\left(x_{0}\right)=f(b)=0$ 及罗尔中值定理，在 $(a, b)$ 内至少存在两点使 $g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right)=0$ ，即 $f^{\prime}(x)+f(x)$ 有两个零点。
记 $F(x)=\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-x}$ ，则
$$
F^{\prime}(x)=-\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-x}+\left(f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-x}=\left(-f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-x}
$$
由罗尔中值定理，存在 $\eta \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\eta)=0$ ，即 $f^{\prime \prime}(\eta)=f(\eta)$ ．
（4）由已知可得，函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在 $x_{0}$ 使 $f\left(x_{0}\right)=0$ ．记 $g(x)=f(x) \mathrm{e}^{2 x}$ ，则 $g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{2 x}\left(2 f(x)+f^{\prime}(x)\right)$ ．
由 $f(a)=f\left(x_{0}\right)=f(b)=0$ 及罗尔中值定理，在 $(a, b)$ 内至少存在两点 $x_{1}, x_{2}$ 使 $g^{\prime}\left(x_{1}\right)=g^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ ，即 $f^{\prime}(x)+2 f(x)$ 有两个零点．
记 $F(x)=\left(2 f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-2 x}$ ，则 $F\left(x_{1}\right)=F\left(x_{2}\right)=0$ ，且
$$
F^{\prime}(x)=-2\left(2 f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-2 x}+\left(2 f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-2 x}=\left(-4 f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-2 x}
$$
由罗尔中值定理，存在 $\zeta \in\left(x_{1}, x_{2}\right) \subset(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\zeta)=0$ ，即 $f^{\prime \prime}(\zeta)=4 f(\zeta)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析条件并设导数符号
由 $f'(a) \cdot f'(b) > 0$，不妨设 $f'(a) > 0$，$f'(b) > 0$。若 $f'(a) < 0$，$f'(b) < 0$，可考虑 $-f(x)$ 类似处理。
提示：注意符号假设不影响结论，因为可对函数取负号。
步骤 2/6
目标：证明存在零点 $x_0$
由 $f(a)=f(b)=0$ 及 $f$ 连续，若 $f$ 在 $(a,b)$ 内恒正或恒负，则 $f'(a)$ 与 $f'(b)$ 异号，与假设矛盾。故存在 $x_0 \in (a,b)$ 使得 $f(x_0)=0$。
提示：注意 $f$ 不一定恒为零，但由端点值相等可推出内部有零点。
步骤 3/6
目标：证明存在 $ heta$ 使 $f''(\theta)=0$
由 $f(a)=f(x_0)=0$，存在 $\xi_1 \in (a,x_0)$ 使 $f'(\xi_1)=0$；由 $f(x_0)=f(b)=0$，存在 $\xi_2 \in (x_0,b)$ 使 $f'(\xi_2)=0$。又 $f'(a)>0$，$f'(b)>0$，则 $f'(\xi_1)=0 < f'(a)$，$f'(\xi_2)=0 < f'(b)$。由拉格朗日中值定理，存在 $\theta_1 \in (a,\xi_1)$ 使 $f''(\theta_1) = \frac{f'(\xi_1)-f'(a)}{\xi_1-a} < 0$，存在 $\theta_2 \in (\xi_2,b)$ 使 $f''(\theta_2) = \frac{f'(b)-f'(\xi_2)}{b-\xi_2} > 0$。由导数的介值定理（达布定理），存在 $\theta \in (\theta_1,\theta_2) \subset (a,b)$ 使 $f''(\theta)=0$。
公式：拉格朗日中值定理：$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$；达布定理：导函数具有介值性。
提示：注意 $f''$ 不一定连续，但由达布定理仍可保证介值性。
步骤 4/6
目标：证明存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)-\alpha f'(\xi)=0$
构造辅助函数 $F(x)=f'(x)e^{-\alpha x}$，则 $F'(x)=e^{-\alpha x}(f''(x)-\alpha f'(x))$。由（1）知 $f$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个零点（例如 $x_0$ 和另一个零点），故 $f'$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个零点（由罗尔定理），从而 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个零点。对 $F$ 应用罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$，即 $f''(\xi)-\alpha f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi$ 使 $F'(\xi)=0$。
提示：注意 $\alpha$ 为任意实数，构造 $e^{-\alpha x}$ 因子是常用技巧。
步骤 5/6
目标：证明存在 $\eta$ 使 $f''(\eta)=f(\eta)$
由 $f(a)=f(b)=0$ 及 $f$ 在 $(a,b)$ 内存在零点 $x_0$，考虑 $g(x)=f(x)e^x$，则 $g(a)=g(x_0)=g(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (a,x_0)$，$\xi_2 \in (x_0,b)$ 使 $g'(\xi_1)=g'(\xi_2)=0$，即 $e^x(f(x)+f'(x))=0$，故 $f(x)+f'(x)$ 有两个零点。再构造 $F(x)=(f(x)+f'(x))e^{-x}$，则 $F(\xi_1)=F(\xi_2)=0$。求导得 $F'(x)=e^{-x}(f''(x)-f(x))$。由罗尔定理，存在 $\eta \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$ 使 $F'(\eta)=0$，即 $f''(\eta)=f(\eta)$。
公式：乘积求导：$(uv)'=u'v+uv'$；指数函数求导：$(e^x)'=e^x$。
提示：注意构造 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 的巧妙组合，使得求导后出现所需形式。
步骤 6/6
目标：证明存在 $\zeta$ 使 $f''(\zeta)=4f(\zeta)$
类似（3），考虑 $g(x)=f(x)e^{2x}$，则 $g(a)=g(x_0)=g(b)=0$，存在两点 $x_1,x_2$ 使 $g'(x)=e^{2x}(2f(x)+f'(x))=0$，即 $2f(x)+f'(x)$ 有两个零点。构造 $F(x)=(2f(x)+f'(x))e^{-2x}$，则 $F(x_1)=F(x_2)=0$。求导得 $F'(x)=e^{-2x}(f''(x)-4f(x))$。由罗尔定理，存在 $\zeta \in (x_1,x_2) \subset (a,b)$ 使 $F'(\zeta)=0$，即 $f''(\zeta)=4f(\zeta)$。
公式：乘积求导；指数函数求导：$(e^{2x})'=2e^{2x}$。
提示：注意系数匹配：$e^{2x}$ 求导产生因子2，与 $4f$ 对应。
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