上册 3.2 微分中值问题 第8题
📝 题目
8．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，$f(a)=f(b)=k, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。求证存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f(\xi)=k$ ．
（2）设函数设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a)=\sqrt{a^{2}+1}, f^{\prime}(b)=\sqrt{4+b^{2}}$ ．证明 $f(x)$在 $(a, b)$ 内至少有一个零点．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $g(x)=f(x)-k$ ，则 $g(a)=g(b)=0, g^{\prime}(a) \cdot g^{\prime}(b)>0$ 。由题6知 $g(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个零点．于是存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f(\xi)=k$ ．
（2）由已知 $f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，由题 6 知 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个零点．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化问题
令 $g(x)=f(x)-k$，则 $g(a)=f(a)-k=0$，$g(b)=f(b)-k=0$，且 $g'(x)=f'(x)$，故 $g'(a)\cdot g'(b)=f'(a)\cdot f'(b)>0$。问题转化为：存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $g(\xi)=0$。
提示：注意 $g(a)=g(b)=0$ 是已知条件，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：应用罗尔定理的推广
由题6（或类似结论）：若 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，$g(a)=g(b)=0$，且 $g'(a)\cdot g'(b)>0$，则 $g(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。证明思路：反证法，假设 $g(x)$ 在 $(a,b)$ 内无零点，则 $g(x)$ 恒正或恒负，不妨设 $g(x)>0$，则 $g'(a)\geq 0$，$g'(b)\leq 0$，与 $g'(a)\cdot g'(b)>0$ 矛盾。
提示：注意 $g'(a)$ 和 $g'(b)$ 的符号相同，均为正或均为负。
步骤 3/5
目标：得出结论
因此存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi)=k$。
步骤 4/5
目标：分析第二问条件
已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a)=f(b)=0$，$f'(a)=\sqrt{a^2+1}$，$f'(b)=\sqrt{4+b^2}$。注意 $f'(a)>0$，$f'(b)>0$，故 $f'(a)\cdot f'(b)>0$。
提示：注意 $f'(a)$ 和 $f'(b)$ 的表达式均为正，因此乘积为正。
步骤 5/5
目标：应用第一问结论
由第一问结论，取 $k=0$，则 $f(a)=f(b)=0$，且 $f'(a)\cdot f'(b)>0$，故存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f(\xi)=0$，即 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。
提示：注意第一问中 $f(a)=f(b)=k$，这里 $k=0$，直接套用。
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