上册 3.2 微分中值问题 第9题
📝 题目
9．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导且 $f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$ ．证明 $\exists \xi \in(0,3)$使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上连续，在 $(0,4)$ 上可导，假定 $f(0)=1$ ，且 $f(1)+f(2)+f(3)=f(4)=2$ ．证明存在一点 $\exists \xi \in(0,4)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由介值定理，$\exists c \in(0,2)$ 使 $\displaystyle f(c)=\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3}=1=f(3)$ ．由罗尔定理，$\exists \xi \in(c, 3) \subset(0,3)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）由介值定理，$\exists c \in[1,4]$ 使 $\displaystyle f(c)=\frac{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)}{4}=1=f(0)$ ．由罗尔定理，$\exists \xi \in(0, c) \subset(0,4)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析条件并应用介值定理（第1问）
已知 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 连续，在 $(0,3)$ 可导，且 $f(0)+f(1)+f(2)=3$，$f(3)=1$。考虑函数值 $f(0), f(1), f(2)$ 的平均值：$\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3}=1$。由介值定理，连续函数在区间 $[0,2]$ 上必存在一点 $c \in (0,2)$ 使得 $f(c)=1$。
公式：介值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，$m$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi)=m$。
提示：注意平均值1介于三个函数值之间，但介值定理要求区间端点，这里需要将三个点视为区间上的值，实际上由于连续，最小值与最大值之间所有值都能取到，因此存在c。
步骤 2/4
目标：应用罗尔定理（第1问）
由第一步得到 $f(c)=1$，又已知 $f(3)=1$，所以 $f(c)=f(3)$。函数 $f(x)$ 在 $[c,3]$ 上连续，在 $(c,3)$ 内可导，且端点函数值相等。根据罗尔定理，存在 $\xi \in (c,3) \subset (0,3)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
提示：注意区间端点：$c \in (0,2)$，所以 $(c,3) \subset (0,3)$，结论成立。
步骤 3/4
目标：分析条件并应用介值定理（第2问）
已知 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 连续，在 $(0,4)$ 可导，且 $f(0)=1$，$f(1)+f(2)+f(3)=f(4)=2$。考虑四个点 $f(1), f(2), f(3), f(4)$ 的平均值：$\frac{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)}{4} = \frac{2+2}{4}=1$。由于 $f$ 在 $[1,4]$ 上连续，由介值定理，存在 $c \in [1,4]$ 使得 $f(c)=1$。
公式：介值定理（同上）。
提示：注意这里 $c$ 可能在端点，但若 $c=1$ 或 $c=4$，则 $f(1)=1$ 或 $f(4)=1$，但 $f(4)=2$，所以 $c$ 在 $(1,4)$ 内。
步骤 4/4
目标：应用罗尔定理（第2问）
由第三步得到 $f(c)=1$，又已知 $f(0)=1$，所以 $f(0)=f(c)$。函数 $f(x)$ 在 $[0,c]$ 上连续，在 $(0,c)$ 内可导，且端点函数值相等。根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,c) \subset (0,4)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理（同上）。
提示：注意 $c \in (1,4)$，所以 $(0,c) \subset (0,4)$，结论成立。
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