上册 3.2 微分中值问题 第10题
📝 题目
10．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可微．若 $f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．证明必 $\exists \xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$ 。证明在 $(a, b)$内至少存在一点 $\xi$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）不妨设 $f(a)>0, f(b)>0 .(f(a)<0, f(b)<0$ 类似可证）
令 $\displaystyle f(c)=\min \{f(a), f(b)\}>f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．对 $\displaystyle \forall \mu: f\left(\frac{a+b}{2}\right)<\mu0, f(b)>0$ ，则 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$ ．
令 $F(x)=f(x) \mathrm{e}^{-x}$ ，则 $\displaystyle F(a)>0, F(b)>0, F\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$ 。由介值定理，$\displaystyle \exists a
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析条件并设定符号
由 $f(a)f(b)>0$，不妨设 $f(a)>0, f(b)>0$（若 $f(a)<0, f(b)<0$ 可类似证明）。已知 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$。令 $c$ 为 $a$ 或 $b$ 中使得 $f(c)$ 较大的一个，即 $f(c)=\max\{f(a), f(b)\}>0$。
提示：注意符号假设的合理性，另一种情况对称处理。
步骤 2/7
目标：应用介值定理找到两个函数值相等的点
取任意实数 $\mu$ 满足 $0<\mu0$，$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$，由介值定理，存在 $\xi_1\in\left(a, \frac{a+b}{2}\right)$ 使得 $f(\xi_1)=\mu$。同理，在 $[\frac{a+b}{2}, b]$ 上，$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$，$f(b)>0$，存在 $\xi_2\in\left(\frac{a+b}{2}, b\right)$ 使得 $f(\xi_2)=\mu$。
公式：介值定理：若 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续，$f(\alpha)\neq f(\beta)$，则对介于 $f(\alpha)$ 与 $f(\beta)$ 之间的任何数 $\gamma$，存在 $c\in(\alpha,\beta)$ 使 $f(c)=\gamma$。
提示：注意区间端点函数值的符号，确保 $\mu$ 介于它们之间。
步骤 3/7
目标：应用罗尔定理得到导数零点
由于 $f(\xi_1)=f(\xi_2)=\mu$，且 $f$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上连续，在 $(\xi_1,\xi_2)$ 内可微，由罗尔定理，存在 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续，在 $(\alpha,\beta)$ 内可导，且 $f(\alpha)=f(\beta)$，则存在 $c\in(\alpha,\beta)$ 使 $f'(c)=0$。
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 的区间包含关系，确保 $\xi$ 在 $(a,b)$ 内。
步骤 4/7
目标：分析第二问并构造函数
要证 $f'(\xi)=f(\xi)$，即 $f'(\xi)-f(\xi)=0$。考虑辅助函数 $F(x)=f(x)e^{-x}$，则 $F'(x)=[f'(x)-f(x)]e^{-x}$。因此 $f'(\xi)=f(\xi)$ 等价于 $F'(\xi)=0$。
公式：$F(x)=f(x)e^{-x}$，$F'(x)=[f'(x)-f(x)]e^{-x}$
提示：构造辅助函数是常见技巧，注意指数函数的导数形式。
步骤 5/7
目标：利用已知条件确定 $F$ 的符号
由 $f(a)f(b)>0$，不妨设 $f(a)>0, f(b)>0$（若 $f(a)<0, f(b)<0$ 类似）。由 $f(a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$ 得 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$。于是 $F(a)=f(a)e^{-a}>0$，$F(b)=f(b)e^{-b}>0$，$F\left(\frac{a+b}{2}\right)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)e^{-\frac{a+b}{2}}<0$。
提示：注意 $e^{-x}>0$ 恒成立，所以 $F$ 的符号与 $f$ 相同。
步骤 6/7
目标：应用介值定理找到 $F$ 的两个零点
由于 $F$ 连续，$F(a)>0$，$F\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$，由介值定理，存在 $x_1\in\left(a, \frac{a+b}{2}\right)$ 使得 $F(x_1)=0$。同理，$F\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$，$F(b)>0$，存在 $x_2\in\left(\frac{a+b}{2}, b\right)$ 使得 $F(x_2)=0$。
公式：介值定理
提示：确保 $x_1$ 和 $x_2$ 分别在区间内，且 $x_1
步骤 7/7
目标：应用罗尔定理得到 $F'$ 的零点
由于 $F(x_1)=F(x_2)=0$，且 $F$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，在 $(x_1,x_2)$ 内可导，由罗尔定理，存在 $\xi\in(x_1,x_2)\subset(a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=f(\xi)$。
公式：罗尔定理
提示：注意 $\xi$ 属于 $(a,b)$，且 $F'(\xi)=0$ 等价于 $f'(\xi)=f(\xi)$。
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