上册 3.2 微分中值问题 第11题
📝 题目
11．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导。证明：（1）$\forall x_{0} \in(a, b), f^{\prime}(x)$ 在 $x_{0}$ 处不可能发生第一类间断点； （2）$f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调时，$f^{\prime}(x)$ 必在 $(a, b)$ 内连续。湖南师大2012，南航2013，西安交大2005，2003，西安电子科技 2004 湖北大学 2005 ，山东大学 2003 ，北航 2004 ，江苏大学 2009 ，扬州大学 2010 ，北京师 大 2009 ，聊城大学 2012，太原理工 2006，武汉大学）
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内处处有导数 $f^{\prime}(x)$ 。证明：$(a, b)$ 中的点或者为 $f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．
💡 答案解析
解题过程：
两个问题的解题方法相同．
（1）设 $x_{0} \in(a, b)$ ，若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=A, \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=B$ 。则
$$
\begin{aligned}
& f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(\xi)=\lim _{\xi \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(\xi)=A, \\
& f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(\eta)=\lim _{\eta \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(\eta)=B .
\end{aligned}
$$
因为 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，所以 $f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，因此 $A=B$ ，从而 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，即 $f^{\prime}(x)$在 $x_{0}$ 处连续。这也说明导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内不可能发生第一类间断点。
（2）由于单调函数的间断点必为第一类间断点，而 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调，故若 $f^{\prime}(x)$ 有间断点，必为第一类间断点，所以导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内没有间断点，故 $f^{\prime}(x)$ 必在 $(a, b)$ 内连续。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并设定符号
设 $x_0 \in (a,b)$，考虑 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处的左右极限。假设 $\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = A$，$\lim_{x \to x_0^+} f'(x) = B$。
提示：注意：这里假设极限存在，用于证明第一类间断点不可能发生。
步骤 2/6
目标：利用拉格朗日中值定理联系左右导数与极限
由拉格朗日中值定理，对于 $x < x_0$，存在 $\xi \in (x, x_0)$ 使得 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi)$。当 $x \to x_0^-$ 时，$\xi \to x_0^-$，因此 $f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{\xi \to x_0^-} f'(\xi) = A$。类似地，对于 $x > x_0$，存在 $\eta \in (x_0, x)$ 使得 $f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{\eta \to x_0^+} f'(\eta) = B$。
公式：拉格朗日中值定理：$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi)$
提示：注意中值点依赖于 $x$，但极限过程正确。
步骤 3/6
目标：利用可导性推出左右极限相等
因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，所以 $f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = f'(x_0)$。由第2步得 $A = B = f'(x_0)$。
提示：可导意味着左右导数存在且相等。
步骤 4/6
目标：得出导函数在 $x_0$ 处连续的结论
由于 $A = B = f'(x_0)$，所以 $\lim_{x \to x_0} f'(x) = f'(x_0)$，即 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处连续。因此，$f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内不可能有第一类间断点。
提示：第一类间断点要求左右极限存在但不相等或等于函数值，这里左右极限相等且等于函数值，故连续。
步骤 5/6
目标：证明第二部分：单调导函数必连续
若 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调，则其可能的间断点只能是第一类间断点（因为单调函数只有跳跃间断点）。但由第一部分，导函数不可能有第一类间断点，因此 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内没有间断点，从而连续。
提示：注意：单调函数的间断点必为第一类，但导函数不能有第一类间断点，故无间断点。
步骤 6/6
目标：总结命题（2）的结论
由（1）知，导函数的间断点只能是第二类间断点。因此，$(a,b)$ 中的点要么是 $f'(x)$ 的连续点，要么是第二类间断点。
提示：第二类间断点指左右极限至少有一个不存在。
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