上册 3.2 微分中值问题 第13题
📝 题目
13．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在在区间 $[0, a]$ 上二阶可导，且 $f(a)=0$ ，设 $F(x)=x^{2} f(x)$ ．证明至少存在一点 $\xi \in(0, a)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．（河海大学2006，重庆大学2011，福建师大2007（ $a=1$ ））
（2）设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上有三阶导数，且 $f(0)=f(1)=0, F(x)=x^{3} f(x)$ ．证 明： （1）$\exists \xi_{1} \in(0,1)$ 使 $F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）$\exists \xi_{2} \in(0,1)$ 使 $F^{m}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 有 $n$ 阶连续导数，$f(0)=f(2)=0$ ．记 $F(x)=(x-1)^{n-1} f(x)$ ，试证 $\exists \xi \in(0,2)$ 使得 $F^{(n)}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
解题过程：
（1）$F(0)=F(a)$ ，由罗尔定理，存在 $\xi_{1} \in[0, a]$ 使 $F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ．因为 $F^{\prime}(x)=2 x f(x)+x^{2} f^{\prime}(x)$ ，
$F^{\prime}(0)=0$ ，再在 $\left[0, \xi_{1}\right]$ 上对 $F^{\prime}(x)$ 应用罗尔定理，存在 $\xi \in\left(0, \xi_{1}\right) \subset[0, a]$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ 。
（2）由已知得 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上三阶可导，
$$
F^{\prime}(x)=x^{2}\left(3 f(x)+f^{\prime}(x)\right), F^{\prime \prime}(x)=x\left(6+6 x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) .
$$
由于 $F(0)=F(1)=0$ ，由罗尔定理，存在 $\xi_{1} \in(0,1)$ 使 $F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ．又 $F^{\prime}(0)=0$ ，由罗尔定理，存在 $\eta \in\left[0, \xi_{1}\right]$ 使 $F^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．又 $F^{\prime \prime}(0)=0$ ，再次由罗尔定理，存在 $\xi_{2} \in[0, \eta] \subset[0,1]$ 使 $F^{\prime \prime \prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）与（2）类同．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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