上册 3.2 微分中值问题 第14题
📝 题目
14．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有二阶连续导数，在区间 $(a, b)$ 内有三阶导函数且 $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ 及 $f(b)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：在 $(a, b)$ 内存在一点 $c$ 使得 $f^{\prime \prime \prime}(c)=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上非负且三阶可导，方程 $f(x)=0$ 在 $(a, b)$ 内有两个不同实根。证明存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，且在 $(a, b)$ 取最大值．试证存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（4）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 两次连续可微，满足 $f(0)=f(1)=0$ 且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明 $\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $f(x)$ 在整个实轴上具有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f(1)=0$ ．证明在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\beta$ 使得 $f^{\prime \prime}(\beta)=0$ ．
（6）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上存在二阶导数，且 $f(a)=f(b)=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则对 $\forall x \in(a, b), f(x) \neq 0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由罗尔定理，$\exists x_{1} \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$ 。由罗尔定理，存在 $x_{2} \in\left(a, x_{1}\right), x_{3} \in\left(x_{1}, b\right)$ 使 $f^{\prime \prime}\left(x_{2}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{3}\right)=0$ 。再次应用罗尔定理，$\exists c \in\left[x_{2}, x_{3}\right] \subseteq(a, b)$ 使 $f^{(3)}(c)=0$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内两个不同实根为 $x_{1}
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用罗尔定理找到一阶导数为零的点
由 $f(a)=f(b)=0$，根据罗尔定理，存在 $x_1 \in (a,b)$ 使得 $f'(x_1)=0$。
公式：罗尔定理
提示：注意区间端点函数值相等
步骤 2/3
目标：再次应用罗尔定理找到二阶导数为零的点
由 $f'(a)=0$ 和 $f'(x_1)=0$，在 $[a,x_1]$ 上对 $f'(x)$ 应用罗尔定理，存在 $x_2 \in (a,x_1)$ 使得 $f''(x_2)=0$。同理，由 $f'(x_1)=0$ 和 $f'(b)=0$，存在 $x_3 \in (x_1,b)$ 使得 $f''(x_3)=0$。
公式：罗尔定理
提示：注意 $f'(a)=f'(b)=0$ 的条件
步骤 3/3
目标：第三次应用罗尔定理得到三阶导数为零的点
由 $f''(x_2)=f''(x_3)=0$，在 $[x_2,x_3]$ 上对 $f''(x)$ 应用罗尔定理，存在 $c \in (x_2,x_3) \subset (a,b)$ 使得 $f'''(c)=0$。
公式：罗尔定理
提示：确保区间包含于 $(a,b)$
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