上册 3.2 微分中值问题 第15题
📝 题目
15．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且过 $(a, f(a)),(b,(f(b))$ 两点的直线 $l$ 与 $y=f(x), x \in(a, b)$ 有一个交点。试证：存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有 2001 阶导数，且过 $(a, f(a)),(b,(f(b))$ 两点的直线 $l$ 与 $y=f(x), x \in(a, b)$ 有 2000 个交点。试证存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{(2001)}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由拉格朗日中值定理，$\exists \xi_{1} \in(a, c)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{f(a)-f(c)}{a-c}=k_{A C}$ ；
$$
\exists \xi_{2} \in(c, b) \text { 使得 } f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{f(c)-f(b)}{c-b}=k_{C B} \text {. }
$$
因 $A, B, C$ 三点共线，故 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=k_{A C}=k_{C B}=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ．由罗尔定理，存在一点 $\xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \subset(a, b)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）与（1）类同．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与设定交点
设直线 $l$ 与曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的交点为 $C(c, f(c))$，其中 $a
提示：注意交点存在性由题目条件保证，且交点唯一？实际上题目只说有一个交点，但后续证明只需一个交点即可。
步骤 2/7
目标：应用拉格朗日中值定理于区间 [a,c]
由于 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 上连续，在 $(a,c)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (a,c)$ 使得 $f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(a)}{c-a}$。
公式：拉格朗日中值定理：$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
提示：注意区间端点顺序，确保分母为正。
步骤 3/7
目标：应用拉格朗日中值定理于区间 [c,b]
同理，存在 $\xi_2 \in (c,b)$ 使得 $f'(\xi_2) = \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$。
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 属于不同区间，且 $\xi_1 < c < \xi_2$。
步骤 4/7
目标：利用三点共线得到导数相等
因为 $A,C,B$ 三点共线，所以直线 $AC$ 的斜率等于直线 $CB$ 的斜率，即 $\frac{f(c)-f(a)}{c-a} = \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$。因此 $f'(\xi_1) = f'(\xi_2)$。
公式：三点共线斜率相等
提示：注意斜率公式中分母的符号，但这里 $c-a>0$，$b-c>0$，所以直接相等。
步骤 5/7
目标：应用罗尔定理得到二阶导为零
由于 $f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上连续，在 $(\xi_1,\xi_2)$ 内可导，且 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$ 使得 $f''(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $g(a)=g(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $g'(\xi)=0$
提示：注意 $f$ 二阶可导保证了 $f'$ 可导，从而可用罗尔定理。
步骤 6/7
目标：推广到2000个交点的情况
设直线 $l$ 与曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有2000个交点，将这些交点的横坐标从小到大排列为 $c_1, c_2, \ldots, c_{2000}$，并令 $c_0=a$，$c_{2001}=b$。则对每个区间 $[c_{i-1}, c_i]$（$i=1,\ldots,2001$）应用拉格朗日中值定理，得到 $\xi_i \in (c_{i-1}, c_i)$ 使得 $f'(\xi_i) = \frac{f(c_i)-f(c_{i-1})}{c_i-c_{i-1}}$。由于所有交点共线，这些斜率都相等，故 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=\cdots=f'(\xi_{2001})$。
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意共有2001个小区间，得到2001个导数值相等。
步骤 7/7
目标：反复应用罗尔定理得到高阶导为零
由 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$，在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上应用罗尔定理，存在 $\eta_1 \in (\xi_1,\xi_2)$ 使 $f''(\eta_1)=0$。同理，由 $f'(\xi_2)=f'(\xi_3)$ 得 $\eta_2 \in (\xi_2,\xi_3)$ 使 $f''(\eta_2)=0$。如此继续，得到2000个二阶导零点。再对这2000个零点应用罗尔定理，得到1999个三阶导零点，依此类推，最终得到存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使 $f^{(2001)}(\xi)=0$。
公式：罗尔定理的反复应用
提示：注意每次应用罗尔定理后，零点个数减少1，最终得到一阶导数的2000个零点，二阶导数的1999个零点，...，直到2001阶导数的一个零点。
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