上册 3.2 微分中值问题 第16题
📝 题目
16．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导．证明：
（1）存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $2 \xi(f(b)-f(a))=\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）至少存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $3 \xi^{2}(f(b)-f(a))=\left(b^{3}-a^{3}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．
💡 答案解析
解题过程：
（1）设 $F(x)=x^{2}(f(b)-f(a))-\left(b^{2}-a^{2}\right) f(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，
$$
F^{\prime}(x)=2 x(f(b)-f(a))-\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(x) \text {, 且 } F(a)=a^{2} f(b)-b^{2} f(a)=F(b) \text {. }
$$
由 Rolle 定理，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ．从而 $2 \xi(f(b)-f(a))=\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）设 $F(x)=x^{3}(f(b)-f(a))-\left(b^{3}-a^{3}\right) f(x)$ ，类似（1）可证．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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