上册 3.2 微分中值问题 第17题
📝 题目
17．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(x)>0$ ．证明至少 $\exists x_{0} \in(a, b)$ 使得
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f^{\prime}\left(x_{0}\right) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right)(f(b)-f(a)) .
$$
💡 答案解析
解题过程：
设 $F(x)=f(x) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(f(b)-f(a)) \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导．
$$
F(a)=f(a) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, F(b)=f(b) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(f(b)-f(a)) \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{dt}=f(a) \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t
$$
由 Rolle 定理，存在一点 $x_{0} \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right)(f(b)-f(a))$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数
为了应用罗尔定理，构造辅助函数 $F(x) = f(x) \int_a^b f(t) \, dt - (f(b)-f(a)) \int_a^x f(t) \, dt$。该函数在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。
提示：注意构造的辅助函数要满足 $F(a)=F(b)$，以便使用罗尔定理。
步骤 2/6
目标：计算 $F(a)$
代入 $x=a$：$F(a) = f(a) \int_a^b f(t) \, dt - (f(b)-f(a)) \int_a^a f(t) \, dt = f(a) \int_a^b f(t) \, dt$，因为 $∫_a^a f(t) \, dt = 0$。
提示：注意积分上下限相等时积分值为0。
步骤 3/6
目标：计算 $F(b)$
代入 $x=b$：$F(b) = f(b) \int_a^b f(t) \, dt - (f(b)-f(a)) \int_a^b f(t) \, dt = [f(b) - (f(b)-f(a))] \int_a^b f(t) \, dt = f(a) \int_a^b f(t) \, dt$。
提示：注意合并同类项，得到 $F(b)=f(a)\int_a^b f(t)dt$。
步骤 4/6
目标：应用罗尔定理
由 $F(a)=F(b)$，且 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，根据罗尔定理，存在 $x_0 \in (a,b)$ 使得 $F'(x_0)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。
提示：确保 $F(x)$ 满足罗尔定理的三个条件：闭区间连续、开区间可导、端点值相等。
步骤 5/6
目标：求 $F'(x)$
对 $F(x)$ 求导：$F'(x) = f'(x) \int_a^b f(t) \, dt + f(x) \cdot 0 - (f(b)-f(a)) f(x) = f'(x) \int_a^b f(t) \, dt - f(x)(f(b)-f(a))$。注意 $∫_a^x f(t)dt$ 的导数为 $f(x)$。
公式：乘积求导法则：$(uv)' = u'v + uv'$；变上限积分求导：$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$。
提示：注意 $\int_a^b f(t)dt$ 是常数，导数为0。
步骤 6/6
目标：代入 $x_0$ 并整理
由 $F'(x_0)=0$ 得 $f'(x_0) \int_a^b f(t) \, dt - f(x_0)(f(b)-f(a)) = 0$，即 $f'(x_0) \int_a^b f(x) \, dx = f(x_0)(f(b)-f(a))$。
提示：注意将积分变量改为 $x$ 不影响结果。
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