上册 3.2 微分中值问题 第18题

\section*{解题过程：} （1）作辅助函数 $F(x)=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))$ ，则函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$F(a)=F(b)=f(a) g(b)-f(b) g(a)$ 。由罗尔定理，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $$ f^{\prime}(\xi)(g(b)-g(a))=g^{\prime}(\xi)(f(b)-f(a)) $$ （2）作辅助函数 $F(x)=f(x) g(x)-g(b) f(x)-f(a) g(x)$ ，则函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$内可导，$F(a)=F(b)=-f(a) g(b)$ 。由罗尔中值定理，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 整理得 $$ f^{\prime}(\xi) g(\xi)+f(\xi) g^{\prime}(\xi)-g(b) f^{\prime}(\xi)-f(a) g^{\prime}(\xi)=0 $$ 由于 $g^{\prime}(\xi) \neq 0, g(b) \neq g(\xi)$（根据 $g^{\prime}(x) \neq 0$ 和导函数具有介值性推知，$g^{\prime}(x)$ 恒正或恒负，故 $g(x)$ 严格单调），因此 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}$ ． （3）作辅助函数 $F(x)=f(x) g(x)-f(x)-g(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导， $F(a)=F(b)=-1$ ．由罗尔定理，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $$ f^{\prime}(\xi) g(\xi)+f(\xi) g^{\prime}(\xi)-f^{\prime}(\xi)-g^{\prime}(\xi)=0 $$ 由已知可把上式化为结论式 $\displaystyle \frac{1-g(\xi)}{f(\xi)-1}=\frac{g^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}$ ． （4）方法 1：令 $F(t)=\int_{a}^{t} g(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ，则函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$F(a)=F(b)=0$ ．应用罗尔定理可证。 方法 2：由于 $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x}=\frac{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{a} g(x) \mathrm{d} x}$ ，欲证结论中出现＂$\displaystyle \frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}$＂，可考虑使用柯西中值定理。证明如下： 令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, G(x)=\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x), G(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足柯西中值定理的条件。由柯西中值定理，至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F^{\prime}(\xi)}{G^{\prime}(\xi)}$ ，即 $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x}=\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$ ．