上册 3.2 微分中值问题 第21题
📝 题目
21．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，$f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ，且 $x \in(a, b)$ 时， $g^{\prime \prime}(x) \neq 0$ 。证明：（1）$\forall x \in(a, b), g(x) \neq 0$ ；（2）至少 $\xi \in(a, b)$ 使 $f(\xi) g^{\prime \prime}(\xi)-g(\xi) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 二阶可导，且存在相等的最大值，$f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ 。试证存在 $\eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=g^{\prime \prime}(\eta)$ 。
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二次可微，且 $f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $f^{\prime}(\xi) \cos \xi+ f^{\prime \prime}(\xi) \sin \xi=0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）假若存在 $x_{1} \in(a, b)$ 使得 $g\left(x_{1}\right)=0$ ．由 $g(a)=0, g\left(x_{1}\right)=0, g(b)=0$ ，存在 $\xi_{1} \in\left(a, x_{1}\right)$ ， $\xi_{2} \in\left(x_{1}, b\right)$ 使 $g^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0, g^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ ，从而存在 $\xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)$ 使 $g^{\prime \prime}(\xi)=0$ 。这与条件 $g^{\prime \prime}(\xi) \neq 0$ 矛盾，所以结论成立．
设 $F(x)=f(x) g^{\prime}(x)-g(x) f^{\prime}(x)$ ，则 $F^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime \prime}(x)-g(x) f^{\prime \prime}(x)$ ．由 $F(a)=0, F(b)=0$ ，存在
$\xi \in(a, b)$ 使 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f(\xi) g^{\prime \prime}(\xi)-g(\xi) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ 。
（2）设 $f\left(x_{1}\right)=g\left(x_{2}\right)=\max _{[a, b]} f(x)=\max _{|a, b|} g(x)$ ，则 $f\left(x_{1}\right)>g\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right)0, F\left(x_{2}\right)<0$ 。由介值定理，在 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 之间存在 $x_{0}$ 使 $F\left(x_{0}\right)=0$ 。由罗尔定理，存在 $\xi_{1} \in\left(a, x_{0}\right), \xi_{2} \in\left(x_{0}, b\right)$ 使 $F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0, F^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。从而存在 $\eta \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)$ 使 $F^{\prime \prime}(\eta)=0$ ，即 $f^{\prime \prime}(\eta)=g^{\prime \prime}(\eta)$ 。
（3）由 $f(0)=f(1)=0$ ，存在 $c \in(0,1)$ 使 $f^{\prime}(c)=0$ ．
设 $F(x)=f^{\prime}(x) \sin x$ ，则 $F(0)=f^{\prime}(0) \sin 0=0, F(c)=f^{\prime}(c) \sin c=0$ ．由罗尔定理，存在 $\xi \in(0, c) \subset(0,1)$ 使 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f^{\prime}(\xi) \cos \xi+f^{\prime \prime}(\xi) \sin \xi=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明(1)中g(x)≠0
假设存在$x_1 \in (a,b)$使得$g(x_1)=0$。由$g(a)=0, g(x_1)=0, g(b)=0$，根据罗尔定理，存在$\xi_1 \in (a,x_1)$和$\xi_2 \in (x_1,b)$使得$g'(\xi_1)=0, g'(\xi_2)=0$。再对$g'(x)$在$[\xi_1,\xi_2]$上应用罗尔定理，存在$\xi \in (\xi_1,\xi_2)$使得$g''(\xi)=0$，与条件$g''(x) \neq 0$矛盾。因此$\forall x \in (a,b), g(x) \neq 0$。
公式：罗尔定理：若$h(x)$在$[\alpha,\beta]$连续，$(\alpha,\beta)$可导，且$h(\alpha)=h(\beta)$，则存在$\gamma \in (\alpha,\beta)$使$h'(\gamma)=0$。
提示：注意反证法的使用，以及连续两次应用罗尔定理。
步骤 2/5
目标：证明(1)中第二个结论
构造辅助函数$F(x)=f(x)g'(x)-g(x)f'(x)$。计算导数：$F'(x)=f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)-g'(x)f'(x)-g(x)f''(x)=f(x)g''(x)-g(x)f''(x)$。由$f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$得$F(a)=0, F(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi \in (a,b)$使得$F'(\xi)=0$，即$f(\xi)g''(\xi)-g(\xi)f''(\xi)=0$。
公式：罗尔定理；$F'(x)=f(x)g''(x)-g(x)f''(x)$
提示：注意$F(x)$的构造，以及$F(a)=F(b)=0$的验证。
步骤 3/5
目标：证明(2)中F(x)有两个零点
设$f(x_1)=g(x_2)=\max_{[a,b]}f(x)=\max_{[a,b]}g(x)$。由于最大值相等，但取到最大值的点可能不同。考虑$F(x)=f(x)-g(x)$，则$F(a)=f(a)-g(a)=0$，$F(b)=0$。在$x_1$处，$F(x_1)=f(x_1)-g(x_1) \geq 0$，但若$F(x_1)=0$则$x_1$即为零点；否则$F(x_1)>0$。类似地，$F(x_2)=f(x_2)-g(x_2) \leq 0$，若$F(x_2)=0$则$x_2$为零点；否则$F(x_2)<0$。由介值定理，在$x_1$与$x_2$之间存在$x_0$使得$F(x_0)=0$。因此$F(x)$在$[a,b]$上至少有三个零点：$a, x_0, b$（可能$x_0$与$a$或$b$重合，但可另取）。
公式：介值定理
提示：注意最大值点可能不止一个，但只需存在两个不同的点使得$F$异号。
步骤 4/5
目标：证明(2)中二阶导数相等
由$F(a)=F(x_0)=F(b)=0$，在区间$[a,x_0]$和$[x_0,b]$上分别应用罗尔定理，存在$\xi_1 \in (a,x_0)$和$\xi_2 \in (x_0,b)$使得$F'(\xi_1)=0, F'(\xi_2)=0$。再对$F'(x)$在$[\xi_1,\xi_2]$上应用罗尔定理，存在$\eta \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$使得$F''(\eta)=0$，即$f''(\eta)=g''(\eta)$。
公式：罗尔定理
提示：注意需要三个零点才能得到两个导数为零点，进而得到二阶导数为零。
步骤 5/5
目标：证明(3)中构造辅助函数
由$f(0)=f(1)=0$，根据罗尔定理，存在$c \in (0,1)$使得$f'(c)=0$。构造$F(x)=f'(x)\sin x$，则$F(0)=f'(0)\sin 0=0$，$F(c)=f'(c)\sin c=0$。在$[0,c]$上应用罗尔定理，存在$\xi \in (0,c) \subset (0,1)$使得$F'(\xi)=0$。计算$F'(x)=f''(x)\sin x + f'(x)\cos x$，因此$f''(\xi)\sin \xi + f'(\xi)\cos \xi =0$，即$f'(\xi)\cos \xi + f''(\xi)\sin \xi =0$。
公式：罗尔定理；$F'(x)=f''(x)\sin x + f'(x)\cos x$
提示：注意$\sin x$在$(0,1)$上不为零，但$c$可能为0？实际上$c \in (0,1)$，所以$\sin c >0$，确保$F(c)=0$。
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