上册 3.2 微分中值问题 第20题
📝 题目
20．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$ ，而当 $x \in(0,1)$ 时 $f(x) \neq 0$ ．证明：对任意自然数 $n$ ，至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{f^{\prime}(1-\xi)}{f(1-\xi)}$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可微，且 $f^{\prime}(x)>0, f(0)=0$ ．证明：$\exists \lambda, \mu \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \lambda+\mu=1, \frac{f^{\prime}(\lambda)}{f(\lambda)}=\frac{f^{\prime}(\mu)}{f(\mu)}$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 个可导，且 $f(1)=2 f(0)$ 。求证：$\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $(\xi+1) f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
（4）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 二次可导，且 $f(0)=f(1)=0$ 。试证：$\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\xi)}{(\xi-1)^{2}}$ 。
（5）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ ：二阶可导，$f(0)=f(1)$ ．求证至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ 使得 $2 f^{\prime}(\xi)+(\xi-1) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（6）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可微，且 $f^{\prime}(x)>0, f(0)=0$ 。证明：$\exists \lambda, \mu \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \lambda+\mu=1, \frac{f^{\prime}(\lambda)}{\lambda}=\frac{f^{\prime}(\mu)}{\mu}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）作辅助函数 $F(x)=f^{n}(x) \cdot f(1-x)$ ．由 $F(0)=F(1)=0 . F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导．由罗尔定理，存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即
$$
n f^{n-1}(\xi) f^{\prime}(\xi) f(1-\xi)-f^{n}(\xi) f^{\prime}(1-\xi)=0
$$
因 $f(\xi) \neq 0$ ，故 $\displaystyle \frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{f^{\prime}(1-\xi)}{f(1-\xi)}$ ．
（2）为（1）$n=1$ 特例．也可 $F(x)=f(x) f(1-x)$ ，由罗尔中值定理得证。
（3）令 $\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{1+x}$ ，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上：连续，在 $(0,1)$ 内可微，
$$
F^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)(1+x)-f(x)}{(1+x)^{2}} \text {, 且 } F(0)=f(0), F(1)=\frac{f(1)}{2}=f(0) \text {. }
$$
由 Rolle 中值定理，$\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $(\xi+1) f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
（4）因 $f(0)=f(1)=0$ ，由 Rolle 中值定理，$\exists \lambda \in(0,1)$ 使得 $f^{\prime}(\lambda)=0$ ．
令 $\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{e}^{(1-x)}} f^{\prime}(x), 0 \leqslant x<1 \text { ，由于 } \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}=F(1)=0 \text { ，所以 } F(x) \text { 在 }[0,1] \text { 上连续，在 }(0,1) \text { 内可 } \\ 0, x=1,\end{array}\right.$微．由 Rolle 中值定理，$\exists \xi \in(\lambda, 1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ．于是 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\xi)}{(\xi-1)^{2}}$ ．
（5）由罗尔定理，存在 $\theta \in(0,1)$ 使得 $f^{\prime}(\theta)=0$ ．
作辅助函数 $F(x)=f^{\prime}(x) \cdot(x-1)^{2}$ ，则 $F(\theta)=F(1)=0, F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$
F^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)(x-1)^{2}+2 f^{\prime}(x)(x-1)
$$
由罗尔定理，存在 $\xi \in(\theta, 1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即
从而
$$
\begin{aligned}
& f^{\prime \prime}(\xi)(\xi-1)^{2}+2 f^{\prime}(\xi)(\xi-1)=0 \\
& 2 f^{\prime}(\xi)+(\xi-1) f^{\prime \prime}(\xi)=0
\end{aligned}
$$
（6）设 $F(x)=f(x)(1-x)+x f(1-x)+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(1-t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$
\begin{aligned}
& F(0)=f(0)=0, F(1)=f(0)+\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{1} f(1-t) \mathrm{d} t=f(0)=0, \\
& F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)(1-x)-f(x)+f(1-x)-x f^{\prime}(1-x)+f(x)-f(1-x)=f^{\prime}(x)(1-x)-x f^{\prime}(1-x) .
\end{aligned}
$$
由罗尔定理，存在 $\lambda \in(0,1)$ 使得 $F^{\prime}(\lambda)=0$ ，即
$$
f^{\prime}(\lambda)(1-\lambda)-\lambda f^{\prime}(1-\lambda)=0 \text {. }
$$
记 $\mu=1-\lambda$ ，则 $\lambda+\mu=1, f^{\prime}(\lambda)(\mu)-\lambda f^{\prime}(\mu)=0$ ，从而 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\lambda)}{\lambda}=\frac{f^{\prime}(\mu)}{\mu}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理
考虑辅助函数 $F(x)=f^n(x) \cdot f(1-x)$。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，故 $F(0)=f^n(0)f(1)=0$，$F(1)=f^n(1)f(0)=0$。因此 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0)=F(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。
提示：注意验证辅助函数在端点处的函数值相等，且满足连续可导条件。
步骤 2/3
目标：计算导数并化简
计算 $F'(x)$：$F'(x)=n f^{n-1}(x) f'(x) f(1-x) - f^n(x) f'(1-x)$。代入 $x=\xi$ 得 $n f^{n-1}(\xi) f'(\xi) f(1-\xi) - f^n(\xi) f'(1-\xi)=0$。由于 $f(\xi) \neq 0$，两边同除以 $f^{n-1}(\xi) f(1-\xi)$（注意 $f(1-\xi)$ 可能为零？但由条件 $f(x) \neq 0$ 在 $(0,1)$ 内，且 $\xi \in (0,1)$，故 $1-\xi \in (0,1)$，所以 $f(1-\xi) \neq 0$），得到 $\frac{n f'(\xi)}{f(\xi)} = \frac{f'(1-\xi)}{f(1-\xi)}$。
提示：注意 $f(\xi) \neq 0$ 和 $f(1-\xi) \neq 0$ 的条件，确保除法合法。
步骤 3/3
目标：完成证明
因此，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $\frac{n f'(\xi)}{f(\xi)} = \frac{f'(1-\xi)}{f(1-\xi)}$，命题得证。
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