上册 3.2 微分中值问题 第25题
📝 题目
25．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ ：有一直到 $n$ 阶导数，在 $(a, b)$ 内 $n+1$ 阶可导，且 $f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0,0 \leqslant k \leqslant n$ 。证明：存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
当 $n=0$ 时为题 24（1）．
当 $n>0$ 时，设 $F(x)=\mathrm{e}^{-x} \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x)$ ，则 $F(a)=\mathrm{e}^{-a} \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a)=0, F(b)=\mathrm{e}^{-b} \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(b)=0$ 。且
$$
F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(-\sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x)+\sum_{k=1}^{n+1} f^{(k)}(x)\right)=\mathrm{e}^{-x}\left(-f(x)+f^{(n+1)}(x)\right)
$$
在 $[a, b]$ ：应用罗尔定理得证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件与结论
已知函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有直到 $n$ 阶导数，在 $(a,b)$ 内 $n+1$ 阶可导，且 $f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0$，$0\leq k\leq n$。需要证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)$。当 $n=0$ 时，即为题24(1)，已证。下面考虑 $n>0$ 的情形。
提示：注意 $n$ 可以为零，但题目要求证明一般情况，需分情况讨论。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x)=\mathrm{e}^{-x}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)$。则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。
公式：$F(x)=\mathrm{e}^{-x}\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)$
提示：辅助函数的形式来源于指数函数求导的性质，目的是使求导后出现 $f(x)-f^{(n+1)}(x)$ 的形式。
步骤 3/6
目标：验证辅助函数在端点处为零
由条件 $f^{(k)}(a)=0$，$0\leq k\leq n$，得 $\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(a)=0$，故 $F(a)=\mathrm{e}^{-a}\cdot0=0$。同理 $F(b)=0$。
提示：注意 $\mathrm{e}^{-a}$ 不为零，所以 $F(a)=0$ 等价于求和项为零。
步骤 4/6
目标：求辅助函数的导数
对 $F(x)$ 求导：
$$
F'(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(-\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)+\sum_{k=1}^{n+1}f^{(k)}(x)\right)=\mathrm{e}^{-x}\left(-f(x)+f^{(n+1)}(x)\right).
$$
这里利用了 $\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)$ 的导数等于 $\sum_{k=1}^{n+1}f^{(k)}(x)$。
公式：$F'(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(-f(x)+f^{(n+1)}(x)\right)$
提示：求导时注意指数函数求导产生负号，以及求和项求导时下标变化。
步骤 5/6
目标：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $F(a)=F(b)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续，开区间可导，且端点函数值相等。
步骤 6/6
目标：推导结论
由 $F'(\xi)=0$ 得 $\mathrm{e}^{-\xi}\left(-f(\xi)+f^{(n+1)}(\xi)\right)=0$。由于 $\mathrm{e}^{-\xi}>0$，故 $-f(\xi)+f^{(n+1)}(\xi)=0$，即 $f(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)$。证毕。
公式：$f(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)$
提示：注意指数函数恒正，可以约去。
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