上册 3.2 微分中值问题 第26题
📝 题目
26．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可导，$f(1)=f(0)=f^{\prime}(1)=f^{\prime}(0)=0$ ．试证：存在 $\xi \in(0,1)$ 使 $f(\xi)=f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $F(x)=\left(f(x)-f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{x}$ ，则 $F(0)=\left(f(0)-f^{\prime}(0)\right)=0, F(1)=\left(f(1)-f^{\prime}(1)\right) \mathrm{e}=0$ ，且
$$
F^{\prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)-f^{\prime \prime}(x)+f(x)-f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{x}=\left(-f^{\prime \prime}(x)+f(x)\right) \mathrm{e}^{x}
$$
由罗尔定理，存在 $\xi \in(0,1)$ 使 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f(\xi)=f^{\prime \prime}(\xi)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
观察结论 $f(\xi)=f''(\xi)$，考虑构造一个函数使其导数为 $f(x)-f''(x)$ 乘以某个因子。尝试 $F(x)=(f(x)-f'(x))e^x$，则 $F'(x)=(f'(x)-f''(x)+f(x)-f'(x))e^x=(f(x)-f''(x))e^x$。
公式：F(x) = (f(x) - f'(x)) e^x
提示：构造辅助函数时，通常将结论转化为某函数导数为零的形式。
步骤 2/4
目标：验证辅助函数在端点处的值
由已知条件 $f(0)=f(1)=0$ 和 $f'(0)=f'(1)=0$，计算 $F(0)=(f(0)-f'(0))e^0 = (0-0)\cdot1=0$，$F(1)=(f(1)-f'(1))e^1 = (0-0)\cdot e=0$。
提示：注意 $e^0=1$，$e^1=e$，不要算错。
步骤 3/4
目标：应用罗尔定理
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可导，则 $f'(x)$ 连续，故 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。且 $F(0)=F(1)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。
提示：检查 $F(x)$ 的连续性和可导性是否满足罗尔定理条件。
步骤 4/4
目标：由导数为零推出结论
由 $F'(\xi)=0$ 得 $(f(\xi)-f''(\xi))e^{\xi}=0$，由于 $e^{\xi}>0$，所以 $f(\xi)-f''(\xi)=0$，即 $f(\xi)=f''(\xi)$。
提示：注意 $e^{\xi}$ 恒正，可以直接约去。
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