上册 3.2 微分中值问题 第28题
📝 题目
28．证明下列命题。
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a)<0, f(b)<0$ ，存在 $c \in(a, b)$ 使 $f(c)>0$ ．证明：$\forall \lambda \in \mathbf{R}, \lambda f^{\prime}(x)+f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[0, b]$ 上连续，在 $(0, b)$ 内可导，$f(0) f(b)<0$ ．则至少存在一点 $\xi \in(0, b)$ 使得 $\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续可导， $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．证明：至少存在一点 $\xi \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由介值定理，存在 $\xi_{1} \in(a, c), \xi_{2} \in(c, b)$ 使 $f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
记 $\lambda=\alpha^{-1}, F(x)=f(x) \mathrm{e}^{\alpha x}$ ．则 $F^{\prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)+\alpha f(x)\right) \mathrm{e}^{\alpha x}$ 在 $(a, b)$ 内有一个根，即 $\lambda f^{\prime}(x)+f(x)$在 $(a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）由介值定理，存在 $c \in(0, b)$ 使 $f(c)=0$ ．记 $F(x)=x f(x)$ ，则 $F(0)=F(c)=0$ ．于是存在 $\xi \in(0, c)$ 使 $F^{\prime}(\xi)=f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ 。
（3）记 $F(x)=x f(x)$ ，则 $F(0)=0$ ．
若 $f(x)$ 只有一个根 $x=0$ ，则取 $\xi=0$ ，结论成立。
若 $f(x)$ 有一个根 $c \neq 0$ ，即 $f(c)=0$ ，由罗尔定理，存在 $\xi \in(0, c)$ 使 $F^{\prime}(\xi)=f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数并应用介值定理
由$f(a)<0$, $f(b)<0$, 存在$c\in(a,b)$使$f(c)>0$，根据介值定理，存在$\xi_1\in(a,c)$和$\xi_2\in(c,b)$使得$f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$。
公式：介值定理
提示：注意$f(a)$和$f(b)$同号，但中间有正点，因此必有两个零点。
步骤 2/6
目标：构造指数型辅助函数
令$\lambda=\alpha^{-1}$，构造$F(x)=f(x)e^{\alpha x}$，则$F'(x)=(f'(x)+\alpha f(x))e^{\alpha x}$。由于$F(\xi_1)=F(\xi_2)=0$，由罗尔定理，存在$\eta\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)$使$F'(\eta)=0$，即$f'(\eta)+\alpha f(\eta)=0$，亦即$\lambda f'(\eta)+f(\eta)=0$。
公式：罗尔定理
提示：注意$\lambda$为任意实数，需通过$\alpha=1/\lambda$处理，但$\lambda=0$时结论平凡，可单独考虑。
步骤 3/6
目标：利用介值定理找到零点
由$f(0)f(b)<0$，根据介值定理，存在$c\in(0,b)$使得$f(c)=0$。
公式：介值定理
提示：注意区间端点函数值异号。
步骤 4/6
目标：构造乘积型辅助函数并应用罗尔定理
令$F(x)=xf(x)$，则$F(0)=0\cdot f(0)=0$，$F(c)=c\cdot f(c)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(0,c)\subset(0,b)$使$F'(\xi)=f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$，即$\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$。
公式：罗尔定理
提示：注意$F(x)$在$[0,c]$上连续可导。
步骤 5/6
目标：分析$f(x)$的零点情况
考虑$F(x)=xf(x)$。若$f(0)=0$，则取$\xi=0$，结论成立。否则，由极限条件$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$，存在$c\neq0$使$f(c)=0$。
公式：介值定理
提示：注意$f$连续，由极限符号变化保证存在零点。
步骤 6/6
目标：应用罗尔定理于乘积函数
若$c\neq0$，则$F(0)=0$，$F(c)=c\cdot0=0$。由罗尔定理，存在$\xi$介于$0$与$c$之间（$\xi\neq0$）使$F'(\xi)=f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$，即$\xi f'(\xi)=-f(\xi)$。
公式：罗尔定理
提示：注意$\xi$可能为0，但若$f(0)=0$则已得证。
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