上册 3.2 微分中值问题 第29题
📝 题目
29．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微，$f(1)=0$ ．证明：（1）存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ；（2）对任何自然数 $n$ ，存在 $\xi_{n} \in(0,1)$ 使得 $n \xi_{n} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)+f\left(\xi_{n}\right)=0$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上可导，且 $f(a)=0$ ．证明：$\forall n \in \mathbf{N}^{+}$，至少 $\exists \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle f(\xi)+\frac{1}{n} \xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，在 $(0, a)$ 内二阶可导且 $f(a)=0$ 。证明：
（1）至少存在一点 $\xi \in(0, a)$ 使得 $\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（2）至少存在一点 $\xi \in(0, a)$ 使得 $\xi f^{\prime}(\xi)+2 f(\xi)=0$ ．
（4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导 $(a<0)$ ，且 $f(a)=0$ 。证明：至少 $\exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\frac{b-\xi}{a} f^{\prime}(\xi)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $F(x)=x f(x)$ ，则 $F(0)=0, F(1)=0$ ．由罗尔定理，存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
记 $\displaystyle G(x)=x^{\frac{1}{n}} f(x)$ ，则
$$
G^{\prime}(x)=x^{\frac{1}{n}} f^{\prime}(x)+\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1} f(x)=\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1}\left(n x f^{\prime}(x)+f(x)\right)
$$
由罗尔定理，存在 $\xi_{n} \in(0,1)$ 使得 $G^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ ，即 $n \xi_{n} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)+f\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（2）记 $F(x)=x^{n} f(x)$ ，则 $F(0)=0, F(a)=0$ ．由罗尔定理，在 $(0, a)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使
$$
F^{\prime}(\xi)=n \xi^{n-1} f(\xi)+\xi^{n} f^{\prime}(\xi)=0
$$
即 $\displaystyle f(\xi)+\frac{1}{n} \xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）在（2）中取 $n=1$ 即得 $\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ；
在（2）中取 $n=2$ 即得 $\xi f^{\prime}(\xi)+2 f(\xi)=0$ 。
（4）设 $F(x)=(b-x)^{a} f(x)$ ，则 $F(a)=(b-a)^{a} f(a)=0, F(b)=0$ ．由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=-a(b-\xi)^{a-1} f(\xi)+(b-\xi)^{a} f^{\prime}(\xi)=0
$$
即 $\displaystyle f(\xi)=\frac{b-\xi}{a} f^{\prime}(\xi)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理（第一问第一部分）
令 $F(x)=x f(x)$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微，且 $F(0)=0\cdot f(0)=0$，$F(1)=1\cdot f(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。计算 $F'(x)=f(x)+x f'(x)$，故 $\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。
提示：注意验证端点函数值相等：$F(0)=0$ 和 $F(1)=0$。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理（第一问第二部分）
令 $G(x)=x^{1/n} f(x)$，则 $G(0)=0$，$G(1)=1^{1/n}f(1)=0$。求导得 $G'(x)=\frac{1}{n}x^{1/n-1}[n x f'(x)+f(x)]$。由罗尔定理，存在 $\xi_n\in(0,1)$ 使 $G'(\xi_n)=0$，即 $n\xi_n f'(\xi_n)+f(\xi_n)=0$。
公式：$G'(x)=\frac{1}{n}x^{1/n-1}(n x f'(x)+f(x))$
提示：注意 $x^{1/n}$ 在 $x=0$ 处可导性？由于 $f$ 连续可微，$G$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 可导，罗尔定理适用。
步骤 3/5
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理（第二问）
令 $F(x)=x^n f(x)$，则 $F(0)=0$，$F(a)=a^n f(a)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,a)$ 使 $F'(\xi)=0$。计算 $F'(x)=n x^{n-1}f(x)+x^n f'(x)=x^{n-1}[n f(x)+x f'(x)]$，故 $n f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$，即 $f(\xi)+\frac{1}{n}\xi f'(\xi)=0$。
公式：$F'(x)=n x^{n-1}f(x)+x^n f'(x)$
提示：注意 $x=0$ 处 $F(0)=0$ 成立，但 $f(0)$ 不一定为0。
步骤 4/5
目标：应用第二问结论（第三问）
在第二问中取 $n=1$，则存在 $\xi\in(0,a)$ 使 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$，即 $\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$。取 $n=2$，则存在 $\xi\in(0,a)$ 使 $f(\xi)+\frac{1}{2}\xi f'(\xi)=0$，即 $\xi f'(\xi)+2f(\xi)=0$。
公式：无新公式
提示：注意第三问中 $f$ 仅需连续且二阶可导，但第二问条件更强（可导），此处直接引用需谨慎。实际上第三问可单独用罗尔定理证明，但此处按答案逻辑。
步骤 5/5
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理（第四问）
令 $F(x)=(b-x)^a f(x)$，则 $F(a)=(b-a)^a f(a)=0$，$F(b)=0^a f(b)=0$（注意 $a>0$ 时 $0^a=0$）。由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。求导：$F'(x)=-a(b-x)^{a-1}f(x)+(b-x)^a f'(x)$，代入 $\xi$ 得 $-a(b-\xi)^{a-1}f(\xi)+(b-\xi)^a f'(\xi)=0$，两边除以 $(b-\xi)^{a-1}$（$\xi\neq b$）得 $-a f(\xi)+(b-\xi)f'(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\frac{b-\xi}{a}f'(\xi)$。
公式：$F'(x)=-a(b-x)^{a-1}f(x)+(b-x)^a f'(x)$
提示：注意 $a$ 是常数且 $a<0$？题目中 $a<0$ 但此处 $a$ 作为指数，需确保 $(b-x)^a$ 定义。实际上 $a$ 是区间左端点，但此处 $a$ 作为指数与区间端点符号冲突，应理解为常数 $a$（题目中 $a<0$ 可能指区间左端点，但此处 $a$ 是幂指数，需区分。答案中 $a$ 作为指数，但题目中 $a$ 是区间左端点，造成混淆。建议将辅助函数改为 $F(x)=(b-x)^{\alpha} f(x)$，其中 $\alpha$ 为常数，但原答案如此。
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