上册 3.2 微分中值问题 第30题
📝 题目
30．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导数，若 $f(0)=f(a)$ ．求证：至少 $\exists \xi \in(0, a)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2}(f(\xi)-f(0))$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $f(b)=f(a)$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(a)-f(\xi)=\frac{\xi f^{\prime}(\xi)}{2}$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，在 $(a, b)$ 内存在 $c$ 使 $f^{\prime}(c)=0$ 。则至少 $\exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{b-a}$ 。
💡 答案解析
解题过程：
（1）令 $F(x)=\mathrm{e}^{-x^{3}}(f(x)-f(0))$ ，则 $F(0)=F(a)=0, F(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，在 $(0, a)$ 内可微，且
$$
F^{\prime}(x)=-3 x^{2} \mathrm{e}^{-x^{3}}(f(x)-f(0))+\mathrm{e}^{-x^{3}} f^{\prime}(x)
$$
由 Rolle 中值定理，至少存在一点 $\xi \in(0, a)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2}(f(\xi)-f(0))$ ．
（2）令 $F(x)=x^{2}(f(x)-f(a))$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 可微，$F^{\prime}(x)=2 x(f(x)-f(a))+x^{2} f^{\prime}(x)$ ，且 $F(a)=F(b)=0$ ．由 Rolle 中值定理，至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即
$$
2(f(\xi)-f(a))+\xi f^{\prime}(\xi)=0
$$
从而 $\displaystyle f(a)-f(\xi)=\frac{\xi f^{\prime}(\xi)}{2}$ ．
（3）令 $\displaystyle F(x)=\mathrm{e}^{-\frac{x}{b-a}}(f(x)-f(a))$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 可微，$F(a)=0$ ．由已知得 $\displaystyle F^{\prime}(c)=-\frac{F(c)}{b-a}$ ．
若 $F(c)=0$ ，则 $F^{\prime}(c)=0$ ，取 $\xi=c$ 即可．
若 $F(c) \neq 0$ ，由中值定理，$\exists \lambda \in(a, c)$ 使 $\displaystyle F^{\prime}(\lambda)=\frac{F(c)-F(a)}{c-a}=\frac{F(c)}{c-a}$ ．于是
$$
F^{\prime}(\lambda) F^{\prime}(c)=-\frac{F(c)}{c-a} \frac{F(c)}{b-a}<0 .
$$
由介值定理，存在一点 $\xi \in(\lambda, c)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ 。即 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{b-a}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理（第1问）
令 $F(x)=e^{-x^3}(f(x)-f(0))$，则 $F(0)=e^0(f(0)-f(0))=0$，$F(a)=e^{-a^3}(f(a)-f(0))=0$（因为 $f(a)=f(0)$）。$F(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续，在 $(0,a)$ 内可导，且 $F'(x)=-3x^2 e^{-x^3}(f(x)-f(0))+e^{-x^3}f'(x)$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,a)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $-3\xi^2 e^{-\xi^3}(f(\xi)-f(0))+e^{-\xi^3}f'(\xi)=0$，整理得 $f'(\xi)=3\xi^2(f(\xi)-f(0))$。
公式：Rolle定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$
提示：注意 $f(0)=f(a)$ 的条件用于保证 $F(0)=F(a)=0$；构造辅助函数时乘以 $e^{-x^3}$ 是为了求导后出现 $f'(\xi)-3\xi^2(f(\xi)-f(0))$ 的形式。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理（第2问）
令 $F(x)=x^2(f(x)-f(a))$，则 $F(a)=a^2(f(a)-f(a))=0$，$F(b)=b^2(f(b)-f(a))=0$（因为 $f(b)=f(a)$）。$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $F'(x)=2x(f(x)-f(a))+x^2 f'(x)$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $2\xi(f(\xi)-f(a))+\xi^2 f'(\xi)=0$。若 $\xi=0$，则 $0$ 不在 $(a,b)$ 内（因为 $a>0$ 或 $a<0$ 但 $a,b$ 同号？实际上题目未限定 $a,b$ 符号，但 $\xi$ 在 $(a,b)$ 内，若 $a<00$ 或 $a,b<0$，则 $\xi \neq 0$，两边除以 $\xi$ 得 $2(f(\xi)-f(a))+\xi f'(\xi)=0$，即 $f(a)-f(\xi)=\frac{\xi f'(\xi)}{2}$。
公式：Rolle定理
提示：注意 $\xi$ 可能为0的情况，若 $a<00$。另外，构造 $F(x)=x^2(f(x)-f(a))$ 时，乘以 $x^2$ 是为了求导后出现 $\xi f'(\xi)$ 项。
步骤 3/4
目标：构造辅助函数并分析零点（第3问）
令 $F(x)=e^{-\frac{x}{b-a}}(f(x)-f(a))$，则 $F(a)=e^{-\frac{a}{b-a}}(f(a)-f(a))=0$。$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，且 $F'(x)=-\frac{1}{b-a}e^{-\frac{x}{b-a}}(f(x)-f(a))+e^{-\frac{x}{b-a}}f'(x)=e^{-\frac{x}{b-a}}\left(f'(x)-\frac{f(x)-f(a)}{b-a}\right)$。由已知存在 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$，则 $F'(c)=e^{-\frac{c}{b-a}}\left(0-\frac{f(c)-f(a)}{b-a}\right)=-\frac{F(c)}{b-a}$。
公式：导数定义
提示：注意 $F'(c)$ 的表达式与 $F(c)$ 的关系。
步骤 4/4
目标：分情况讨论（第3问）
情况1：若 $F(c)=0$，则 $F'(c)=0$，即 $f'(c)=\frac{f(c)-f(a)}{b-a}$，取 $\xi=c$ 即得结论。情况2：若 $F(c) \neq 0$，则 $F'(c) \neq 0$。由拉格朗日中值定理，存在 $\lambda \in (a,c)$ 使得 $F'(\lambda)=\frac{F(c)-F(a)}{c-a}=\frac{F(c)}{c-a}$。于是 $F'(\lambda) F'(c)=\frac{F(c)}{c-a} \cdot \left(-\frac{F(c)}{b-a}\right)=-\frac{F(c)^2}{(c-a)(b-a)}<0$。因此 $F'(\lambda)$ 与 $F'(c)$ 异号。由导数的介值定理（达布定理），存在 $\xi \in (\lambda,c) \subset (a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{b-a}$。
公式：拉格朗日中值定理，达布定理（导数的介值性）
提示：注意 $F(c) \neq 0$ 时，$F'(\lambda)$ 与 $F'(c)$ 异号，从而由达布定理存在零点。达布定理要求导函数具有介值性，即使导函数不一定连续。
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