上册 3.2 微分中值问题 第31题
📝 题目
31．设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上 $n$ 次连续可导，且有 $f(1)=f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0$ ．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $n f(\xi)=\xi f^{\prime}(\xi)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $F(x)=x^{-n} f(x)$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^{n}}=0, F(1)=0$ ．由罗尔定理的推广，存在 $\xi \in(0,1)$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=\xi^{-n-1}\left(-n f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)\right)=0,
$$
即 $n f(\xi)=\xi f^{\prime}(\xi)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数
考虑函数 $F(x)=x^{-n} f(x)$，其中 $x \in (0,1]$。由于 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上 $n$ 次连续可导，且 $f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0$，故 $F(x)$ 在 $(0,1]$ 上可导。
公式：F(x)=x^{-n} f(x)
提示：注意 $x=0$ 处 $F(x)$ 未定义，需考虑极限行为。
步骤 2/6
目标：计算 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的极限
由 $f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0$，利用泰勒公式或洛必达法则，有 $\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{x^n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}=0$，因此 $\lim_{x\to 0^+} F(x)=0$。
公式：\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{x^n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}=0
提示：注意 $f^{(n)}(0)=0$ 是已知条件，直接代入极限。
步骤 3/6
目标：定义 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的值
定义 $F(0)=0$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续（因为 $\lim_{x\to 0^+}F(x)=F(0)$），且在 $(0,1)$ 内可导。
提示：连续性需验证，这里通过补充定义实现。
步骤 4/6
目标：应用罗尔定理
由 $F(0)=0$ 和 $F(1)=1^{-n}f(1)=0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：F(0)=F(1)=0 \Rightarrow \exists \xi \in (0,1), F'(\xi)=0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，端点值相等。
步骤 5/6
目标：计算 $F'(x)$
对 $F(x)=x^{-n}f(x)$ 求导：$F'(x) = -n x^{-n-1} f(x) + x^{-n} f'(x) = x^{-n-1} \left( -n f(x) + x f'(x) \right)$。
公式：F'(x)=x^{-n-1}(-n f(x)+x f'(x))
提示：注意求导法则，尤其是幂函数求导。
步骤 6/6
目标：代入 $F'(\xi)=0$ 得到结论
由 $F'(\xi)=0$ 得 $\xi^{-n-1} \left( -n f(\xi) + \xi f'(\xi) \right)=0$，因为 $\xi>0$，所以 $-n f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$，即 $n f(\xi)=\xi f'(\xi)$。
公式：n f(\xi)=\xi f'(\xi)
提示：注意 $\xi^{-n-1}\neq 0$，可直接约去。
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