上册 3.2 微分中值问题 第32题
📝 题目
32．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且在 $(0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(0)=n \int_{\frac{n-1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：存在 $\xi \in(0,1)$使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．证明：$\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（4）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(2)=\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$ ．求证：至少存在一点 $\xi \in(0,2)$ 使得 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上可微，满足 $f(1)=9 f(3)=\int_{1}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。求证：存在不同的两点 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(1,3)$ 满足 $2 f(x)+x f^{\prime}(x)=0$ ．
（6）设 $F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可微，且 $F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，由积分中值定理，$\displaystyle \exists c \in\left[\frac{n}{n-1}, 1\right]$ 使得 $\displaystyle f(0)=n \int_{\frac{n-1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x=f(c)$ ．由 Rolle 中值定理，$\exists \xi \in(0, c) \subset(0,1)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）由积分中值定理，$\exists c \in[0,1]$ 使得 $f(1)=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=c f(c)$ 。令 $F(x)=x f(x)$ ，则 $F(1)=F(c)$ ，
由 Rolle 中值定理，$\exists \xi \in(c, 1) \subset(0,1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（3）根据积分中值定理，存在 $\displaystyle \xi_{1} \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 使得 $f(1)=\xi_{1} f\left(\xi_{1}\right)$ 。
令 $F(x)=x f(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $\left[\xi_{1}, 1\right]$ 上连续，在 $\left(\xi_{1}, 1\right)$ 上可导，且 $F^{\prime}(x)=f(x)+x f^{\prime}(x)$ ．
又 $F(1)=f(1)=\xi_{1} f\left(\xi_{1}\right)=F\left(\xi_{1}\right)$ ．由罗尔定理，至少 $\exists \xi \in\left(\xi_{1}, 1\right) \subset(0,1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$.
（4）由积分中值定理，存在 $\displaystyle \xi_{1} \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 使得 $\displaystyle f(2)=\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \xi_{1} f\left(\xi_{1}\right)$ ．
令 $F(x)=x f(x)$ ，则 $F(2)=2 f(2)=\xi_{1} f\left(\xi_{1}\right)=F\left(\xi_{1}\right)$ ．由罗尔中值定理，存在 $\xi \in\left(\xi_{1}, 2\right) \subset(0,2)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（5）由积分中值定理，存在 $c \in(1,2)$ 使得 $\int_{1}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=c^{2} f(c)$ ．
令 $F(x)=x^{2} f(x)$ ，则 $F(1)=f(1)=3^{3} f(3)=F(3)=F(c)$ ．由罗尔中值定理，存在 $\xi_{1} \subset(1, c), \xi_{2} \subset(c, 3)$ 使得 $F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=F^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ ，即 $2 f\left(\xi_{1}\right)+\xi_{1} f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0,2 f\left(\xi_{2}\right)+\xi_{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（6）由积分中值定理，存在 $c \in(0,1)$ 使得 $F(1)=f(1)=c^{2} f(c)$ 。令 $g(x)=x^{2} f(x)$ ，则 $g(1)=g(c)$ 。由罗尔中值定理，存在一点 $\xi \in(c, 1) \subset(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用积分中值定理找到相等点
由积分中值定理，存在 $c \in \left[\frac{n-1}{n}, 1\right]$ 使得 $\int_{\frac{n-1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x = f(c) \cdot \left(1 - \frac{n-1}{n}\right) = \frac{1}{n} f(c)$。因此 $f(0) = n \cdot \frac{1}{n} f(c) = f(c)$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a)$
提示：注意积分区间长度是 $1/n$，不要算错。
步骤 2/2
目标：应用罗尔定理得到导数为零
由于 $f(0)=f(c)$ 且 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续，在 $(0,c)$ 内可微，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,c) \subset (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$
提示：注意 $c$ 可能等于 $0$？但 $c \in [\frac{n-1}{n},1]$，$\frac{n-1}{n} \ge 0$，且 $n\ge 1$，所以 $c>0$，区间非退化。
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