上册 3.2 微分中值问题 第33题
📝 题目
33．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{1-x^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使 $f^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi)$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(1)=4 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \mathrm{e}^{1-x^{\prime}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则（1）存在 $\eta \in(0,1)$ 使得 $f(1)=\mathrm{e}^{1-\eta^{3}} f(\eta)$ ；（2）存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2} f(\xi)$ 。
（3）设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，在 $(0, a>0)$ 内可导且 $\displaystyle f(\pi)=\pi \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \mathrm{e}^{\pi-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：至少存在一点 $\xi \in(0, \pi)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ 。
（4）设函数 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上可导，且 $\displaystyle f(a)=n \int_{0}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{x-a} f(x) \mathrm{d} x,\left(\frac{1}{n}
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由积分中值定理，存在 $\displaystyle c \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 使 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{1-x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{1-c^{2}} f(c)$ ．
令 $F(x)=f(x) \cdot \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$
F(1)=f(1) \mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1} \mathrm{e}^{1-c^{2}} f(c)=\mathrm{e}^{-c^{2}} f(c)=F(c) .
$$
由罗尔定理得，至少存在一点 $\xi \in(c, 1) \subset(0,1)$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi) \mathrm{e}^{-\xi^{2}}-2 \xi \mathrm{e}^{-\xi^{2}} f(\xi)=0 \text {, 即 } f^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi) \text {. }
$$
（2）由积分中值定理，存在 $\displaystyle \eta \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$ 使 $\displaystyle f(1)=4 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \mathrm{e}^{1-x^{3}} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{1-\eta^{3}} f(\eta)$ ．
令 $F(x)=f(x) \cdot \mathrm{e}^{-x^{3}}$ ，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$
F(1)=f(1) \mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1} \mathrm{e}^{1-\eta^{3}} f(\eta)=\mathrm{e}^{-\eta^{3}} f(\eta)=F(\eta) .
$$
由罗尔定理得，至少存在一点 $\xi \in(\eta, 1) \subset(0,1)$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi) \mathrm{e}^{-\xi^{3}}-3 \xi^{2} \mathrm{e}^{-\xi^{3}} f(\xi)=0 \text {, 即 } f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2} f(\xi) \text {. }
$$
（3）由积分中值定理，存在 $\displaystyle \eta \in\left(0, \frac{1}{\pi}\right)$ 使 $\displaystyle f(\pi)=\pi \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \mathrm{e}^{\pi-x} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{\pi-\eta} f(\eta)$ 。
令 $F(x)=f(x) \cdot \mathrm{e}^{\pi-x}$ ，则 $F(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，在 $(0, \pi)$ 内可导，且
$$
F(\pi)=f(\pi)=\mathrm{e}^{\pi-\eta} f(\eta)=F(\eta) .
$$
由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(\eta, \pi) \subset(0, \pi)$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi) \mathrm{e}^{\pi-\xi}-\mathrm{e}^{\pi-\xi} f(\xi)=0,
$$
即 $f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
（4）由积分中值定理，存在 $\displaystyle \eta \in\left[0, \frac{1}{n}\right]$ 使 $\displaystyle f(a)=n \int_{0}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{x-a} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{\eta-a} f(\eta)$ ．
令 $F(x)=f(x) \cdot \mathrm{e}^{x-a}$ ，则 $F(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，在 $(0, a)$ 内可导且 $F(a)=f(a)=\mathrm{e}^{\eta-a} f(\eta)=F(\eta)$ ．由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(\eta, a) \subset(0, a)$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi) \mathrm{e}^{\xi-a}+\mathrm{e}^{\xi-a} f(\xi)=0 \text {, 即 } f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0 \text { 。 }
$$
（5）由积分中值定理，存在 $\eta \in[0,1]$ 使 $f(1)=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x-1} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{\eta-1} f(\eta)$ ．
令 $F(x)=f(x) \cdot \mathrm{e}^{x-1}$ ，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导且 $F(1)=f(1)=\mathrm{e}^{\eta-1} f(\eta)=F(\eta)$ ．由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(\eta, 1) \subset(0,1)$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi) \mathrm{e}^{\xi-1}+\mathrm{e}^{\xi-1} f(\xi)=0 \text {, 即 } f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0 \text { 。 }
$$
（6）由积分中值定理，存在 $\displaystyle \eta \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$ 使 $f(0)=\mathrm{e}^{\eta} f(\eta)$ 。
令 $F(x)=f(x) \cdot \mathrm{e}^{x}$ ，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0)=f(0)=\mathrm{e}^{\eta} f(\eta)=F(\eta)$ ．由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(0, \eta) \subset(0,1)$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi) \mathrm{e}^{\xi}+\mathrm{e}^{\xi} f(\xi)=0 \text {, 即 } f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0 \text { 。 }
$$
（7）由积分中值定理，存在 $\displaystyle \eta \in\left[0, \frac{1}{9}\right]$ 使 $f(1)=9 \int_{0}^{9^{-1}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{d} x=\eta \mathrm{e}^{1-\eta} f(\eta)$ 。
令 $F(x)=x f(x) \cdot \mathrm{e}^{1-x}$ ，则 $F(1)=f(1)=\eta \mathrm{e}^{1-\eta} f(\eta)=F(\eta), F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$
F^{\prime}(x)=f(x) \cdot \mathrm{e}^{1-x}+x f^{\prime}(x) \cdot \mathrm{e}^{1-x}-x f(x) \mathrm{e}^{1-x} .
$$
由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(0, \eta) \subset(0,1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即
$$
f(\xi) \cdot \mathrm{e}^{1-\xi}+\xi f^{\prime}(\xi) \cdot \mathrm{e}^{1-\xi}-\xi f(\xi) \mathrm{e}^{1-\xi}=0
$$
整理化简得
$$
f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)-\xi f(\xi)=0 \text {, 即 } f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi) \text {. }
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用积分中值定理
由积分中值定理，存在 $c \in (0, \frac{1}{2})$ 使得 $f(1) = 2 \int_0^{\frac{1}{2}} e^{1-x^2} f(x) dx = e^{1-c^2} f(c)$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b g(x) dx = g(\xi)(b-a)$
提示：注意积分区间为 $[0, \frac{1}{2}]$，中值点 $c$ 在开区间内。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数
令 $F(x) = f(x) e^{-x^2}$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。计算 $F(1) = f(1) e^{-1} = e^{-1} e^{1-c^2} f(c) = e^{-c^2} f(c) = F(c)$。
提示：辅助函数通常由结论中的微分方程形式构造，此处结论为 $f'(\xi)=2\xi f(\xi)$，可改写为 $f'(\xi)e^{-\xi^2} - 2\xi e^{-\xi^2} f(\xi)=0$，即 $(f(x)e^{-x^2})'=0$。
步骤 3/5
目标：应用罗尔定理
由于 $F(1)=F(c)$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (c,1) \subset (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$
提示：注意 $c$ 在 $(0,1/2)$ 内，故 $(c,1)$ 是 $(0,1)$ 的子区间。
步骤 4/5
目标：计算导数并得出结论
计算 $F'(x) = f'(x) e^{-x^2} - 2x e^{-x^2} f(x)$。由 $F'(\xi)=0$ 得 $f'(\xi) e^{-\xi^2} - 2\xi e^{-\xi^2} f(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。
提示：注意 $e^{-\xi^2} \neq 0$，可约去。
步骤 5/5
目标：总结
因此，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=2\xi f(\xi)$，命题得证。
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