上册 3.2 微分中值问题 第34题
📝 题目
34．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可导， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：（1）$\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）$\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $2 f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ 或 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2}{\xi} f(\xi)$ 。
（2）若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上二次可微，并且 $\displaystyle f(0)=f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ ，以及 $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(y) \mathrm{d} y=\frac{3}{4} f(1)$ ．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由积分中值定理，存在 $c \in(0,1)$ 使得 $f(c)=0$ ．
令 $F(x)=x f(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0)=0=F(c)$ ．由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(0, c)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
令 $G(x)=x^{2} f(x)$ ，则 $G(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $G(0)=0=G(c)$ ．由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(0, c)$ 使得 $G^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi)+\xi^{2} f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）令 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{1}{4}}^{x}(f(t)-f(1)) \mathrm{d} t, x \in\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ ，则 $\displaystyle F\left(\frac{1}{4}\right)=F(1)=0$ ．由罗尔定理得，存在 $\displaystyle \eta_{1} \in\left(\frac{1}{4}, 1\right)$使得 $F^{\prime}\left(\eta_{1}\right)=0$ ，即 $f\left(\eta_{1}\right)=f(1)$ 。进一步，存在 $c \in\left(\xi_{1}, 1\right)$ 使得 $f^{\prime}(c)=0$ ．
由 $\displaystyle f(0)=f\left(\frac{1}{4}\right)=f(c)=0$ ，存在 $\displaystyle \xi_{1} \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$ 使得 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ，存在 $\displaystyle \xi_{2} \in\left(\frac{1}{4}, c\right)$ 使得 $f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。再由罗尔定理得，存在 $\xi \in\left(\xi_{2}, \xi_{1}\right) \subset(0,1)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用积分中值定理找到零点
由积分中值定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f(c) = \int_0^1 f(x) \, dx = 0$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)$
提示：注意积分中值定理要求 $f$ 连续，这里 $f$ 连续可导，满足条件。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理证明(1)的第一部分
令 $F(x) = x f(x)$，则 $F$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0)=0$，$F(c)=c f(c)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,c) \subset (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $f(\xi) + \xi f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$
提示：注意 $F(0)=0$ 是因为 $x=0$，$F(c)=0$ 是因为 $f(c)=0$。
步骤 3/6
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理证明(1)的第二部分
令 $G(x) = x^2 f(x)$，则 $G$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $G(0)=0$，$G(c)=c^2 f(c)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,c)$ 使得 $G'(\xi)=0$，即 $2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi)=0$，整理得 $2f(\xi) + \xi f'(\xi)=0$ 或 $f'(\xi) = -\frac{2}{\xi} f(\xi)$。
公式：导数公式：$(x^2 f(x))' = 2x f(x) + x^2 f'(x)$
提示：注意 $\xi$ 在 $(0,c)$ 内，$\xi>0$，所以可以除以 $\xi$。
步骤 4/6
目标：构造积分型辅助函数并应用罗尔定理
令 $F(x) = \int_{1/4}^x (f(t) - f(1)) \, dt$，$x \in [1/4, 1]$。则 $F(1/4)=0$，$F(1)=\int_{1/4}^1 (f(t)-f(1)) \, dt = \int_{1/4}^1 f(t) \, dt - \frac{3}{4} f(1) = 0$（由已知条件）。由罗尔定理，存在 $\eta_1 \in (1/4, 1)$ 使得 $F'(\eta_1)=0$，即 $f(\eta_1)-f(1)=0$，故 $f(\eta_1)=f(1)$。
公式：微积分基本定理：$\frac{d}{dx} \int_a^x g(t) \, dt = g(x)$
提示：注意 $F(1)=0$ 是由已知条件 $\int_{1/4}^1 f(y) \, dy = \frac{3}{4} f(1)$ 推导得出。
步骤 5/6
目标：利用罗尔定理找到一阶导数为零的点
由 $f(0)=f(1/4)=0$，在 $[0,1/4]$ 上对 $f$ 应用罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (0,1/4)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$。由 $f(1/4)=0$ 和 $f(\eta_1)=f(1)$，但 $f(1)$ 不一定为零，所以不能直接对 $f$ 用罗尔定理。考虑 $f$ 在 $[1/4, \eta_1]$ 上，由 $f(1/4)=0$ 和 $f(\eta_1)=f(1)$，但 $f(1)$ 未知。然而，由 $f(\eta_1)=f(1)$，在 $[\eta_1,1]$ 上对 $f$ 应用罗尔定理，存在 $c \in (\eta_1,1)$ 使得 $f'(c)=0$。
公式：罗尔定理
提示：注意 $f(1)$ 不一定为零，所以不能直接得到 $f(\eta_1)=0$。
步骤 6/6
目标：再次应用罗尔定理得到二阶导数为零
现在有 $f'(\xi_1)=0$ 和 $f'(c)=0$，其中 $\xi_1 \in (0,1/4)$，$c \in (\eta_1,1) \subset (1/4,1)$。由于 $\xi_1 < 1/4 < c$，在区间 $[\xi_1, c]$ 上对 $f'$ 应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1, c) \subset (0,1)$ 使得 $f''(\xi)=0$。
公式：罗尔定理
提示：注意 $\xi_1$ 和 $c$ 的大小关系：$\xi_1 < 1/4 < \eta_1 < c$，所以区间 $[\xi_1, c]$ 非退化。
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