上册 3.2 微分中值问题 第40题
📝 题目
40．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$ ．证明：
（1）存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\zeta)=-f^{\prime}(\eta)$ 。
（2）存在两个不同的点 $\eta, \xi \in(a, b)$ 使 $\sin \eta\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right)=f(b) \sin \xi$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，为常函数，结论成立．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，不为常函数，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内取得最值．不妨设在 $c$ 取最大值，则 $f^{\prime}(c)=0$ ，且 $\displaystyle \frac{f(a)-f(c)}{a-c}>0>\frac{f(c)-f(b)}{c-b}$ ．由中值定理，存在两个不同的点 $\xi_{1} \in(a, c), \xi_{2} \in(c, b)$ 使 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)>0, f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)<0$ ．
不妨设 $\lambda=\min \left\{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right),-f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)\right\}$ ．
若 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)>-f^{\prime}\left(\xi_{2}\right), f^{\prime}(c)=0<\lambda=-f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)-\lambda>f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ，由导数的介值定理，存 $\eta \in\left(c, \xi_{2}\right)$ 使 $f(\eta)=-\lambda$ ．取 $\zeta=\xi_{1}$ ，则 $f^{\prime}(\zeta)=-f^{\prime}(\eta)$ 。
（2）设 $F(x)=x f(x)(\cos b-\cos a)-\cos x(b f(b)-a f(a))$ ，则 $F(a)=a \cos b f(a)-b \cos a f(b)=F(b)$ ．由 Rolle 定理，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即
$$
F^{\prime}(\xi)=\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right)(\cos b-\cos a)+\sin \xi(b f(b)-a f(a))=0
$$
再由中值定理，存在点 $\eta \in(a, b)$ 使 $\cos b-\cos a=-\sin \eta(b-a)$ ．于是
$$
\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right)(-\sin \eta)(b-a)+\sin \xi(b f(b)-a f(a))=0
$$
结合 $f(a)=f(b)$ 得 $\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right) \sin \eta=f(b) \sin \xi$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析常函数情况
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为常函数，则 $f'(x)=0$ 对所有 $x\in(a,b)$ 成立，此时任取两个不同点 $\eta,\zeta\in(a,b)$ 均有 $f'(\zeta)=0=-f'(\eta)$，结论成立。
提示：注意常函数是平凡情况，需单独讨论。
步骤 2/8
目标：非平凡情况：利用最值点
若 $f(x)$ 不是常函数，则存在极值点。由于 $f(a)=f(b)$，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，故在 $(a,b)$ 内取得最大值或最小值。不妨设最大值在 $c\in(a,b)$ 处取得（最小值情况类似），则 $f'(c)=0$。由 $f(a)=f(b)$ 且 $f(c)$ 为最大值，有 $\frac{f(a)-f(c)}{a-c}>0$ 和 $\frac{f(c)-f(b)}{c-b}<0$。
公式：费马引理：若 $c$ 为极值点且 $f$ 可导，则 $f'(c)=0$。
提示：注意最值点可能在区间内部，且导数存在时必为零。
步骤 3/8
目标：应用拉格朗日中值定理得到两个导数异号的点
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1\in(a,c)$ 使得 $f'(\xi_1)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>0$；存在 $\xi_2\in(c,b)$ 使得 $f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}<0$。因此 $f'(\xi_1)>0$，$f'(\xi_2)<0$。
公式：拉格朗日中值定理：$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是不同的点。
步骤 4/8
目标：利用导数的介值性构造所需点
令 $\lambda=\min\{f'(\xi_1), -f'(\xi_2)\}>0$。分两种情况：
- 若 $f'(\xi_1)\geq -f'(\xi_2)$，则 $\lambda=-f'(\xi_2)$，且 $0<\lambda\leq f'(\xi_1)$。由于 $f'(c)=0$，由导数的介值定理（达布定理），存在 $\eta\in(\xi_1,c)$ 使得 $f'(\eta)=\lambda=-f'(\xi_2)$。取 $\zeta=\xi_2$，则 $f'(\zeta)=-f'(\eta)$。
- 若 $f'(\xi_1)<-f'(\xi_2)$，则 $\lambda=f'(\xi_1)$，且 $0<\lambda<-f'(\xi_2)$。由于 $f'(c)=0$，存在 $\eta\in(c,\xi_2)$ 使得 $f'(\eta)=-\lambda=-f'(\xi_1)$。取 $\zeta=\xi_1$，则 $f'(\zeta)=-f'(\eta)$。
公式：导数的介值定理（达布定理）：若 $f$ 可导，则 $f'$ 具有介值性。
提示：注意 $\eta$ 和 $\zeta$ 是不同的点，且 $\eta$ 的存在性依赖于导数的介值性。
步骤 5/8
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理
对于第(2)问，令 $F(x)=x f(x)(\cos b-\cos a)-\cos x(b f(b)-a f(a))$。计算 $F(a)=a f(a)(\cos b-\cos a)-\cos a(b f(b)-a f(a))=a f(a)\cos b - a f(a)\cos a - b f(b)\cos a + a f(a)\cos a = a f(a)\cos b - b f(b)\cos a$。同理 $F(b)=b f(b)(\cos b-\cos a)-\cos b(b f(b)-a f(a))=b f(b)\cos b - b f(b)\cos a - b f(b)\cos b + a f(a)\cos b = a f(a)\cos b - b f(b)\cos a$。故 $F(a)=F(b)$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。
提示：构造辅助函数是解题关键，需验证端点值相等。
步骤 6/8
目标：计算导数并化简
求导得 $F'(x)=[f(x)+x f'(x)](\cos b-\cos a)+\sin x(b f(b)-a f(a))$。代入 $\xi$ 得 $[f(\xi)+\xi f'(\xi)](\cos b-\cos a)+\sin\xi(b f(b)-a f(a))=0$。
提示：注意求导时 $\cos b-\cos a$ 和 $b f(b)-a f(a)$ 是常数。
步骤 7/8
目标：应用中值定理处理余弦差
由拉格朗日中值定理，存在 $\eta\in(a,b)$ 使得 $\cos b-\cos a = -\sin\eta (b-a)$。代入上式得 $[f(\xi)+\xi f'(\xi)](-\sin\eta)(b-a)+\sin\xi(b f(b)-a f(a))=0$，即 $[f(\xi)+\xi f'(\xi)]\sin\eta (b-a)=\sin\xi(b f(b)-a f(a))$。
公式：拉格朗日中值定理：$\cos b-\cos a = -\sin\eta (b-a)$。
提示：注意 $\eta$ 与 $\xi$ 可能不同，但都是 $(a,b)$ 内的点。
步骤 8/8
目标：利用条件 $f(a)=f(b)$ 化简
由 $f(a)=f(b)$，得 $b f(b)-a f(a)=b f(a)-a f(a)=f(a)(b-a)=f(b)(b-a)$。代入上式得 $[f(\xi)+\xi f'(\xi)]\sin\eta (b-a)=\sin\xi f(b)(b-a)$。两边约去 $(b-a)$（$b\neq a$），即得 $\sin\eta(\xi f'(\xi)+f(\xi))=f(b)\sin\xi$。
提示：注意 $b-a\neq0$，可约去。
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