上册 3.2 微分中值问题 第41题
📝 题目
41．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导 $(0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^{2}$ ，由柯西中值定理，$\exists \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b^{2}-a^{2}}=\frac{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}{2 \xi_{2}}$ ，即
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{b+a}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)
$$
对 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上应用拉格朗日中值定理，$\exists \xi_{1} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)$ ．故
$$
f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)
$$
（2）由（1）知，$\exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ．
对 $f(x)$ 与 $g(x)=x^{3}$ ，由柯西定理，$\exists \xi_{3} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b^{3}-a^{3}}=\frac{f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)}{3 \xi_{3}^{2}}$ ，即
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3 \xi_{3}^{2}} f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)
$$
故 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3 \xi_{3}{ }^{2}} f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)$ ．
（3）由柯西定理，$\exists \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b^{-1}-a^{-1}}=\frac{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}{-\xi_{2}^{-2}}=-\xi_{2}^{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ，即
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{a b} \xi_{2}^{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)
$$
由拉格朗日中值定理，$\exists \xi_{1} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)$ ．故 $\exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{\xi_{2}^{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}{a b}$ ．
（4）对 $f(x), g(x)=\ln x$ ，由柯西定理，$\exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}$ ．由拉格朗日定理，$\exists \eta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．故 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\eta)(b-a)}{\ln b-\ln a}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明(1)中的第一个等式
对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^2$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理，存在 $\xi_2 \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\xi_2)}{2\xi_2}$。整理得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{a+b}{2\xi_2} f'(\xi_2)$。
公式：柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
提示：注意 $g'(x)=2x$，且 $a>0$ 保证分母不为零。
步骤 2/7
目标：证明(1)中的第二个等式
对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi_1)$。结合上一步结果得到 $f'(\xi_1) = \frac{a+b}{2\xi_2} f'(\xi_2)$。
公式：拉格朗日中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 一般不同。
步骤 3/7
目标：证明(2)中与 $\xi_3$ 相关的等式
对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^3$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理，存在 $\xi_3 \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b^3-a^3} = \frac{f'(\xi_3)}{3\xi_3^2}$。整理得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{a^2+ab+b^2}{3\xi_3^2} f'(\xi_3)$。结合(1)的结果即得 $f'(\xi_1) = \frac{a+b}{2\xi_2} f'(\xi_2) = \frac{a^2+ab+b^2}{3\xi_3^2} f'(\xi_3)$。
公式：柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
提示：注意 $g'(x)=3x^2$，且 $a>0$ 保证分母不为零。
步骤 4/7
目标：证明(3)中的第一个等式
对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^{-1}$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理，存在 $\xi_2 \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b^{-1}-a^{-1}} = \frac{f'(\xi_2)}{-\xi_2^{-2}}$，即 $\frac{f(b)-f(a)}{b^{-1}-a^{-1}} = -\xi_2^2 f'(\xi_2)$。整理得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{\xi_2^2 f'(\xi_2)}{ab}$。
公式：柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
提示：注意 $g'(x) = -x^{-2}$，且 $a>0$ 保证分母不为零。
步骤 5/7
目标：证明(3)中的第二个等式
对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi_1)$。结合上一步结果得到 $f'(\xi_1) = \frac{\xi_2^2 f'(\xi_2)}{ab}$。
公式：拉格朗日中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 一般不同。
步骤 6/7
目标：证明(4)中的第一个等式
对 $f(x)$ 和 $g(x)=\ln x$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \frac{f'(\xi)}{1/\xi} = \xi f'(\xi)$，即 $\xi f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a}$。
公式：柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
提示：注意 $g'(x)=1/x$，且 $a>0$ 保证对数定义。
步骤 7/7
目标：证明(4)中的第二个等式
对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\eta)$，即 $f(b)-f(a) = f'(\eta)(b-a)$。代入上一步结果得 $\xi f'(\xi) = \frac{f'(\eta)(b-a)}{\ln b - \ln a}$。
公式：拉格朗日中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\eta)$
提示：注意 $\xi$ 和 $\eta$ 一般不同。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。