上册 3.2 微分中值问题 第42题
📝 题目
42．设 $f(x)$ 在 $[a, b](a>0)$ 连续，在 $(a, b)$ 可微，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）存在 $\xi, \eta, \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{\xi}{\eta}$ ．
（2）存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a} \mathrm{e}^{-\eta}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）对 $f(x), g(x)=\ln x$ 在 $[a, b]$ 应用柯西定理，$\exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}$ ．
对 $f(x)=\ln x$ 在 $[a, b]$ 应用拉格朗日定理，$\exists \eta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{1}{\eta}=\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$ ．于是
$$
\frac{\xi f^{\prime}(\xi)}{\eta}=\frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a} \frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$
对 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 应用拉格朗日定理，$\exists \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．于是
$$
\frac{\xi f^{\prime}(\xi)}{\eta}=\frac{\ln b-\ln a}{b-a} \frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\zeta)
$$
故存在 $\xi, \eta, \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{\xi}{\eta}$ ．
（2）对 $f(x), g(x)=e^{x}$ 在 $[a, b]$ 应用柯西定理，$\exists \eta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\eta)}{\mathrm{e}^{\eta}}=\frac{f(b)-f(a)}{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}$ ．
对 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 应用拉格朗日定理，$\exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．于是
$$
\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a} \mathrm{e}^{-\eta}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用柯西中值定理于f(x)和ln x
对函数 $f(x)$ 和 $g(x)=\ln x$ 在区间 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得
$$\frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a} = \frac{f'(\xi)}{1/\xi} = \xi f'(\xi).$$
因此 $\xi f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}$。
公式：柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
提示：注意 $g'(x)=1/x$，且 $a>0$ 保证对数定义。
步骤 2/8
目标：应用拉格朗日中值定理于ln x
对函数 $h(x)=\ln x$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得
$$\frac{\ln b-\ln a}{b-a} = h'(\eta) = \frac{1}{\eta}.$$
因此 $\frac{1}{\eta} = \frac{\ln b-\ln a}{b-a}$。
公式：拉格朗日中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$
提示：注意 $\ln x$ 的导数为 $1/x$。
步骤 3/8
目标：结合前两步得到关系式
将第一步和第二步的结果相乘，得到
$$\frac{\xi f'(\xi)}{\eta} = \frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a} \cdot \frac{\ln b-\ln a}{b-a} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
提示：注意消去 $\ln b-\ln a$。
步骤 4/8
目标：应用拉格朗日中值定理于f(x)
对函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\zeta \in (a,b)$ 使得
$$f'(\zeta) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意 $\zeta$ 与之前的 $\xi,\eta$ 不同。
步骤 5/8
目标：推导结论(1)
由第三步和第四步，有 $\frac{\xi f'(\xi)}{\eta} = f'(\zeta)$，整理得
$$\frac{f'(\zeta)}{f'(\xi)} = \frac{\xi}{\eta}.$$
因此存在 $\xi,\eta,\zeta \in (a,b)$ 使得等式成立。
提示：注意分母不为零，因为 $f'(x) \neq 0$。
步骤 6/8
目标：应用柯西中值定理于f(x)和e^x
对函数 $f(x)$ 和 $g(x)=e^x$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得
$$\frac{f(b)-f(a)}{e^b-e^a} = \frac{f'(\eta)}{e^\eta}.$$
因此 $\frac{f'(\eta)}{e^\eta} = \frac{f(b)-f(a)}{e^b-e^a}$。
公式：柯西中值定理
提示：注意 $g'(x)=e^x$。
步骤 7/8
目标：应用拉格朗日中值定理于f(x)
对函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得
$$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意这里的 $\xi$ 与(1)中的不同，但符号相同。
步骤 8/8
目标：推导结论(2)
由第六步和第七步，有 $\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)} = \frac{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{\frac{f(b)-f(a)}{e^b-e^a} e^\eta} = \frac{e^b-e^a}{b-a} e^{-\eta}$。
因此存在 $\xi,\eta \in (a,b)$ 使得等式成立。
提示：注意 $f(b)-f(a)$ 可约去，且 $f'(\eta) \neq 0$。
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