上册 3.2 微分中值问题 第43题
📝 题目
43．证明下列命题．
（1）已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a)=f(b)=1$ ．证明存在 $\varepsilon, \eta \in(a, b)$ 使得 $\mathrm{e}^{\varepsilon-\eta}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=1$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b](a>0)$ 连续，在 $(a, b)$ 可微，且 $f(a)=f(b)=1$ 。证明存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1}=f(\xi)+\frac{\xi}{n} f^{\prime}(\xi), n \geqslant 1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）分析：所要证的式子可化为 $\mathrm{e}^{\varepsilon}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=\mathrm{e}^{\eta}$ ，即 $\left.\left(\mathrm{e}^{x} f^{2}(x)\right)^{\prime}\right|_{x=\varepsilon}=\left.\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}\right|_{x=\eta}$ ．证明如下：
对 $\mathrm{e}^{x}$ 在 $[a, b]$ 应用拉格朗日定理，$\exists \eta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \mathrm{e}^{\eta}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a}$ ．
对 $\mathrm{e}^{x} f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 应用拉格朗日定理，$\exists \varepsilon \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \left.\left(\mathrm{e}^{x} f^{2}(x)\right)^{\prime}\right|_{x=\varepsilon}=\frac{f^{2}(b) \mathrm{e}^{b}-f^{2}(a) \mathrm{e}^{a}}{b-a}$ ．
于是 $\displaystyle \mathrm{e}^{\varepsilon}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=\frac{f^{2}(b) \mathrm{e}^{b}-f^{2}(a) \mathrm{e}^{a}}{b-a}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a}=\mathrm{e}^{\eta}$ ，即 $\mathrm{e}^{\varepsilon-\eta}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=1$ ．
（2）分析：所要证的式子等价于 $n \eta^{n-1}=n \xi^{n-1} f(\xi)+\xi^{n} f^{\prime}(\xi)$ 。左端是函数 $x^{n}$ 的导函数在 $\eta$ 处的值，右端是函数 $x^{n} f(x)$ 的导函数在 $\xi$ 处的值，并注意到 $f(a)=f(b)=1$ ，分别应用拉格朗日中值定理立明．证明如下：
对 $x^{n}$ 在 $[a, b]$ 应用拉格朗日定理，$\exists \eta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle n \eta^{n-1}=\frac{b^{n}-a^{n}}{b-a}$ ．
对 $x^{n} f(x)$ 在 $[a, b]$ 应用拉格朗日定理，$\exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \left.\left(x^{n} f(x)\right)^{\prime}\right|_{x=\xi}=\frac{f(b) b^{n}-f(a) a^{n}}{b-a}$ ．
于是 $\displaystyle n \xi^{n-1} f(\xi)+\xi^{n} f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b) b^{n}-f(a) a^{n}}{b-a}=\frac{b^{n}-a^{n}}{b-a}=n \eta^{n-1}$ ，即 $\displaystyle \left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1}=f(\xi)+\frac{\xi}{n} f^{\prime}(\xi), n \geqslant 1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析并转化待证等式（1）
待证等式为 $e^{\varepsilon-\eta}(f^2(\varepsilon)+2f(\varepsilon)f'(\varepsilon))=1$。两边乘以 $e^{\eta}$ 得 $e^{\varepsilon}(f^2(\varepsilon)+2f(\varepsilon)f'(\varepsilon))=e^{\eta}$。注意到 $e^{x}f^2(x)$ 的导数为 $e^{x}(f^2(x)+2f(x)f'(x))$，而 $e^{x}$ 的导数为 $e^{x}$，因此等式可理解为存在两点 $\varepsilon,\eta$ 使得 $e^{x}f^2(x)$ 和 $e^{x}$ 在 $[a,b]$ 上的拉格朗日中值定理的导数值相等。
公式：$(e^x f^2(x))' = e^x(f^2(x)+2f(x)f'(x))$
提示：注意转化时两边同乘 $e^{\eta}$，不要遗漏指数项。
步骤 2/8
目标：对 $e^x$ 应用拉格朗日中值定理
由于 $e^x$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $e^{\eta} = \frac{e^b - e^a}{b-a}$。
公式：拉格朗日中值定理：$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
提示：注意 $\eta$ 是导数值等于差商的自变量。
步骤 3/8
目标：对 $e^x f^2(x)$ 应用拉格朗日中值定理
令 $g(x)=e^x f^2(x)$，由 $f$ 连续可导知 $g$ 在 $[a,b]$ 上连续可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\varepsilon \in (a,b)$ 使得 $g'(\varepsilon) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} = \frac{e^b f^2(b) - e^a f^2(a)}{b-a}$。代入 $f(a)=f(b)=1$ 得 $g'(\varepsilon) = \frac{e^b - e^a}{b-a}$。
公式：$g'(\varepsilon) = \frac{e^b f^2(b)-e^a f^2(a)}{b-a}$
提示：注意 $f(a)=f(b)=1$ 的代入简化。
步骤 4/8
目标：结合两式得到结论（1）
由前两步，$g'(\varepsilon) = e^{\varepsilon}(f^2(\varepsilon)+2f(\varepsilon)f'(\varepsilon)) = \frac{e^b-e^a}{b-a} = e^{\eta}$，因此 $e^{\varepsilon-\eta}(f^2(\varepsilon)+2f(\varepsilon)f'(\varepsilon))=1$。
提示：注意 $g'(\varepsilon)$ 的表达式与 $e^{\eta}$ 相等。
步骤 5/8
目标：分析并转化待证等式（2）
待证等式为 $\left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1} = f(\xi) + \frac{\xi}{n}f'(\xi)$。两边乘以 $n\xi^{n-1}$ 得 $n\eta^{n-1} = n\xi^{n-1}f(\xi) + \xi^n f'(\xi)$。注意到 $x^n$ 的导数为 $nx^{n-1}$，$x^n f(x)$ 的导数为 $nx^{n-1}f(x)+x^n f'(x)$，因此等式可理解为存在两点 $\xi,\eta$ 使得 $x^n$ 和 $x^n f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的拉格朗日中值定理的导数值相等。
公式：$(x^n f(x))' = nx^{n-1}f(x)+x^n f'(x)$
提示：注意 $n\geq 1$，且 $a>0$ 保证 $\xi,\eta>0$。
步骤 6/8
目标：对 $x^n$ 应用拉格朗日中值定理
由于 $x^n$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $n\eta^{n-1} = \frac{b^n - a^n}{b-a}$。
提示：注意 $\eta$ 是导数值等于差商的自变量。
步骤 7/8
目标：对 $x^n f(x)$ 应用拉格朗日中值定理
令 $h(x)=x^n f(x)$，由 $f$ 连续可导知 $h$ 在 $[a,b]$ 上连续可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $h'(\xi) = \frac{h(b)-h(a)}{b-a} = \frac{b^n f(b) - a^n f(a)}{b-a}$。代入 $f(a)=f(b)=1$ 得 $h'(\xi) = \frac{b^n - a^n}{b-a}$。
公式：$h'(\xi) = \frac{b^n f(b)-a^n f(a)}{b-a}$
提示：注意 $f(a)=f(b)=1$ 的代入简化。
步骤 8/8
目标：结合两式得到结论（2）
由前两步，$h'(\xi) = n\xi^{n-1}f(\xi)+\xi^n f'(\xi) = \frac{b^n-a^n}{b-a} = n\eta^{n-1}$，因此 $n\eta^{n-1} = n\xi^{n-1}f(\xi)+\xi^n f'(\xi)$，两边除以 $n\xi^{n-1}$ 得 $\left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1} = f(\xi) + \frac{\xi}{n}f'(\xi)$。
提示：注意除以 $n\xi^{n-1}$ 时 $\xi>0$ 保证除法有效。
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