上册 3.2 微分中值问题 第48题
📝 题目
48．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶导函数连续．证明 $\exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ 。华中师大2005，东北师大2002，延安大学2001，东华大学 2006，西电 2003，扬州大学 2006，西安理工）
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二次可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, M=\max _{a0)$ 上具有二阶连续的导函数，$f(0)=0$ ．证明至少存在一点 $\xi \in(-a, a)$ 使得 $a^{3} f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学2014，曲阜师大2011，东华大学2005）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）分析：由于被积函数具有连续的二阶导数，所以 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上具有三阶导数。根据结论的特点，在 $\displaystyle x_{0}=\frac{a+b}{2}$ 处展开。证明如下：
将函数 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在点 $\displaystyle x=\frac{a+b}{2}$ 处泰勒展开
$$
F(x)=F\left(\frac{a+b}{2}\right)+F^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{2!} F^{\prime \prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3!} F^{\prime \prime \prime}(\eta)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{3} .
$$
即 $\displaystyle F(x)=F\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{2!} f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime}(\eta)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{3}$ ．
上式中让 $x$ 分别取 $a, b$ 得
$$
\begin{aligned}
& F(a)=F\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right)+\frac{1}{2!} f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime}\left(\eta_{1}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right)^{3}, \eta_{1} \in\left(a, \frac{a+b}{2}\right) \\
& F(b)=F\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{b-a}{2}\right)+\frac{1}{2!} f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime}\left(\eta_{2}\right)\left(\frac{b-a}{2}\right)^{3}, \eta_{2} \in\left(\frac{a+b}{2}, b\right) .
\end{aligned}
$$
两式相减得
$$
F(b)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\eta_{1}\right)+f^{\prime \prime}\left(\eta_{2}\right)}{48}(b-a)^{3}
$$
由导数介值定理，存在 $\xi \in\left(\eta_{1}, \eta_{2}\right) \subset(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime \prime}\left(\eta_{1}\right)+f^{\prime \prime}\left(\eta_{2}\right)}{2}$ 。从而
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)
$$
（2）由（1）得。
（3）在（1）中让 $[a, b]=[-a, a]$ 即得．
也可用泰勒公式直接证明：
令 $F(x)=\int_{-x}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，将 $F(x)$ 在 $x=0$ 展开为二阶泰勒公式
$$
F(x)=F(0)+F^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(0) x^{2}+\frac{1}{6} F^{\prime \prime \prime}(\xi) x^{3} .
$$
由于 $F^{\prime}(x)=f(x)+f(-x), F^{\prime \prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}(-x), F^{\prime \prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime}(-x)$ ，所以
即
$$
\begin{aligned}
& F(x)=2 f(0) x+\frac{1}{6}\left(f^{\prime \prime}(\xi)+f^{\prime \prime}(-\xi)\right) x^{3} \\
& F(x)=\frac{1}{6}\left(f^{\prime \prime}(\xi)+f^{\prime \prime}(-\xi)\right) x^{3}
\end{aligned}
$$
令 $x=a$ 得 $\displaystyle F(a)=\frac{1}{6}\left(f^{\prime \prime}(\xi)+f^{\prime \prime}(-\xi)\right) a^{3},(0<\xi
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数并泰勒展开
令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上三阶可导。将 $F(x)$ 在 $x_0=\frac{a+b}{2}$ 处展开为三阶泰勒公式：
$$F(x)=F\left(\frac{a+b}{2}\right)+F'\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{2}F''\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{1}{6}F'''(\eta)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^3,$$
其中 $\eta$ 介于 $x$ 与 $\frac{a+b}{2}$ 之间。由于 $F'(x)=f(x)$，$F''(x)=f'(x)$，$F'''(x)=f''(x)$，代入得：
$$F(x)=F\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{2}f'\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{1}{6}f''(\eta)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^3.$$
公式：泰勒公式：$F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}F''(x_0)(x-x_0)^2+\frac{1}{6}F'''(\xi)(x-x_0)^3$
提示：注意泰勒展开的余项是拉格朗日型余项，$\eta$ 依赖于 $x$。
步骤 2/7
目标：代入端点 $x=a$ 和 $x=b$
分别令 $x=a$ 和 $x=b$，注意 $\frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2}$，$b-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}$，得：
$$F(a)=F\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right)+\frac{1}{2}f'\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+\frac{1}{6}f''(\eta_1)\left(\frac{a-b}{2}\right)^3,$$
$$F(b)=F\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{b-a}{2}\right)+\frac{1}{2}f'\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{b-a}{2}\right)^2+\frac{1}{6}f''(\eta_2)\left(\frac{b-a}{2}\right)^3,$$
其中 $\eta_1\in(a,\frac{a+b}{2})$，$\eta_2\in(\frac{a+b}{2},b)$。
提示：注意 $a-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}$，$b-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}$，符号不要搞错。
步骤 3/7
目标：两式相减消去中间项
将 $F(b)$ 减去 $F(a)$，注意到 $F(a)=0$，$F(b)=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，且 $\left(\frac{b-a}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$，$\left(\frac{b-a}{2}\right)^3=-\left(\frac{a-b}{2}\right)^3$，得：
$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a) + \frac{1}{6}\left[f''(\eta_2)+f''(\eta_1)\right]\left(\frac{b-a}{2}\right)^3.$$
化简 $\left(\frac{b-a}{2}\right)^3=\frac{(b-a)^3}{8}$，所以：
$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{(b-a)^3}{48}\left[f''(\eta_1)+f''(\eta_2)\right].$$
提示：注意相减时 $F\left(\frac{a+b}{2}\right)$ 和含 $f'$ 的项抵消了。
步骤 4/7
目标：应用导函数介值定理
由于 $f''(x)$ 连续，由介值定理，存在 $\xi$ 介于 $\eta_1$ 与 $\eta_2$ 之间，使得 $f''(\xi)=\frac{f''(\eta_1)+f''(\eta_2)}{2}$。代入上式得：
$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi).$$
这就证明了（1）。
公式：介值定理：若 $f$ 连续，则介于 $f(\eta_1)$ 和 $f(\eta_2)$ 之间的值都能取到。
提示：注意 $\xi$ 在 $(\eta_1,\eta_2)\subset(a,b)$ 内，且 $f''$ 连续保证了介值定理可用。
步骤 5/7
目标：证明（2）
由（1）的结论，取 $\xi$ 使得 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$。已知 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$，且 $|f''(x)|\leq M$，所以：
$$\left|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\right| = \left|\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)\right| \leq \frac{M(b-a)^3}{24}.$$
证毕。
公式：绝对值不等式：$|\int f| \leq \int |f|$，但这里直接用了（1）的等式。
提示：注意（1）中的 $\xi$ 依赖于 $f$，但不等式对任意 $\xi$ 都成立。
步骤 6/7
目标：证明（3）方法一：利用（1）的结论
在（1）中取 $[a,b]=[-a,a]$，则 $b-a=2a$，$\frac{a+b}{2}=0$，代入得：
$$\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x = (2a)f(0) + \frac{(2a)^3}{24}f''(\xi) = 0 + \frac{8a^3}{24}f''(\xi) = \frac{a^3}{3}f''(\xi),$$
其中 $\xi\in(-a,a)$。两边乘以3得 $a^3 f''(\xi)=3\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x$，即证。注意题目中写的是 $\eta$，这里 $\xi$ 即 $\eta$。
公式：（1）的结论：$\int_a^b f = (b-a)f(\frac{a+b}{2})+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$
提示：注意 $f(0)=0$ 的条件，否则结论不成立。
步骤 7/7
目标：证明（3）方法二：直接泰勒展开
令 $F(x)=\int_{-x}^x f(t)\mathrm{d}t$，则 $F(0)=0$，$F'(x)=f(x)+f(-x)$，$F''(x)=f'(x)-f'(-x)$，$F'''(x)=f''(x)+f''(-x)$。将 $F(x)$ 在 $x=0$ 处展开为三阶泰勒公式：
$$F(x)=F(0)+F'(0)x+\frac{1}{2}F''(0)x^2+\frac{1}{6}F'''(\xi)x^3,$$
其中 $\xi$ 介于0与 $x$ 之间。由于 $F(0)=0$，$F'(0)=f(0)+f(0)=2f(0)=0$，$F''(0)=f'(0)-f'(0)=0$，所以 $F(x)=\frac{1}{6}[f''(\xi)+f''(-\xi)]x^3$。令 $x=a$ 得：
$$\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x = \frac{a^3}{6}[f''(\xi)+f''(-\xi)],\quad 0<\xi
公式：泰勒公式：$F(x)=F(0)+F'(0)x+\frac{1}{2}F''(0)x^2+\frac{1}{6}F'''(\xi)x^3$
提示：注意 $F'(0)=2f(0)=0$，$F''(0)=0$，所以展开后只剩下三阶项。
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