上册 3.2 微分中值问题 第49题
📝 题目
49．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可微，求证存在 $\xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)-\frac{1}{12}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$ ．证明存在 $\xi \in(a, b)$ 使得
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{12}(a-b)^{3} . \text { }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：令 $\displaystyle f(a)-f(b)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)=\frac{1}{12} K(b-a)^{3}$ ．
记 $\displaystyle F(x)=f(x)-f(b)+\frac{1}{2}(b-x)\left(f^{\prime}(x)+f^{\prime}(b)\right)-\frac{1}{12} K(b-x)^{3}$ ，则 $F(a)=F(b)=0$ ．
$$
\begin{gathered}
F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{1}{2}\left(f^{\prime}(x)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(x)(b-x)+\frac{1}{4} K(b-x)^{2}, F^{\prime}(b)=0 . \\
F^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{2}(b-x)\left(f^{\prime \prime \prime}(x)-K\right) .
\end{gathered}
$$
由 Rolle 定理，存在存在 $c \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(c)=0$ 。再由 Rolle 定理，存在 $\xi \in(c, b)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ 。
由 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ 得 $f^{\prime \prime \prime}(\xi)=K$ ．
方法 2：设 $\displaystyle F(x)=f(x)-f(a)-\frac{1}{2}(x-a)\left(f^{\prime}(x)+f^{\prime}(a)\right), G(x)=(x-a)^{3}$ ，则
$$
\begin{gathered}
F(a)=F^{\prime}(a)=G(a)=G^{\prime}(a)=0 \\
F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{1}{2}\left[f^{\prime}(a)+f^{\prime}(x)\right]-\frac{1}{2}(x-a) f^{\prime \prime}(x), F^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{2}(x-a) f^{\prime \prime \prime}(x)
\end{gathered}
$$
连续应用柯西中值定理，$\exists \xi_{1} \in(a, b), \xi \in\left(a, \xi_{1}\right)$ ，使
$$
\frac{F(b)}{G(b)}=\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}{G^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}=\frac{F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)-F^{\prime}(a)}{G^{\prime}\left(\xi_{1}\right)-G^{\prime}(a)}=\frac{F^{\prime \prime}(\xi)}{G^{\prime \prime}(\xi)}=-\frac{1}{12} f^{\prime \prime \prime}(\xi),
$$
即
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)-\frac{1}{12}(b-a)^{3} f^{\prime \prime \prime}(\xi)
$$
（2）令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上的三阶导函数连续，
$$
F(a)=0, F^{\prime}(x)=f(x), F^{\prime \prime}(x)=f^{\prime}(x), F^{\prime \prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x), F^{\prime}(a)=f(a)=f(b)=F^{\prime}(b)=0 .
$$
利用（1）的结果，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得
即
$$
\begin{gathered}
F(b)=F(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(F^{\prime}(a)+F^{\prime}(b)\right)-\frac{1}{12}(b-a)^{3} F^{\prime \prime \prime}(\xi) \\
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(b-a)(f(a)+f(b))-\frac{1}{12}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{12}(a-b)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)
\end{gathered}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入辅助函数并设定常数K
令 $K$ 满足 $f(b)-f(a) = \frac{1}{2}(b-a)(f'(a)+f'(b)) - \frac{1}{12}K(b-a)^3$。定义辅助函数 $F(x) = f(x) - f(b) + \frac{1}{2}(b-x)(f'(x)+f'(b)) - \frac{1}{12}K(b-x)^3$，则 $F(a)=0$，$F(b)=0$。
提示：注意常数K的设定，确保F(a)=F(b)=0，为应用Rolle定理做准备。
步骤 2/7
目标：计算F的一阶和二阶导数
计算 $F'(x) = f'(x) - \frac{1}{2}(f'(x)+f'(b)) + \frac{1}{2}f''(x)(b-x) + \frac{1}{4}K(b-x)^2$，化简得 $F'(x) = \frac{1}{2}f'(x) - \frac{1}{2}f'(b) + \frac{1}{2}f''(x)(b-x) + \frac{1}{4}K(b-x)^2$。特别地，$F'(b)=0$。再求二阶导：$F''(x) = \frac{1}{2}f''(x) - \frac{1}{2}f''(x) + \frac{1}{2}f'''(x)(b-x) - \frac{1}{2}f''(x) + \frac{1}{2}K(b-x)$，化简得 $F''(x) = \frac{1}{2}(b-x)(f'''(x)-K)$。
公式：$F''(x) = \frac{1}{2}(b-x)(f'''(x)-K)$
提示：求导过程要仔细，注意乘积法则和符号。
步骤 3/7
目标：应用Rolle定理得到存在点ξ
由 $F(a)=F(b)=0$，根据Rolle定理，存在 $c \in (a,b)$ 使得 $F'(c)=0$。又 $F'(b)=0$，在区间 $[c,b]$ 上对 $F'(x)$ 应用Rolle定理，存在 $\xi \in (c,b) \subset (a,b)$ 使得 $F''(\xi)=0$。
提示：注意两次使用Rolle定理的条件：函数在区间端点值相等。
步骤 4/7
目标：由F''(ξ)=0推出结论
由 $F''(\xi)=0$ 得 $\frac{1}{2}(b-\xi)(f'''(\xi)-K)=0$，由于 $b-\xi>0$，故 $f'''(\xi)=K$。代入K的定义即得 $f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)(f'(a)+f'(b))-\frac{1}{12}(b-a)^3 f'''(\xi)$。
公式：$f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)(f'(a)+f'(b))-\frac{1}{12}(b-a)^3 f'''(\xi)$
提示：注意K的表达式，不要忘记负号。
步骤 5/7
目标：构造原函数并应用(1)的结论
令 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上三阶可微，且 $F(a)=0$，$F'(x)=f(x)$，$F''(x)=f'(x)$，$F'''(x)=f''(x)$。由条件 $f(a)=f(b)=0$ 得 $F'(a)=f(a)=0$，$F'(b)=f(b)=0$。
提示：注意原函数F的导数与原函数f的关系。
步骤 6/7
目标：对F应用(1)的结论
对 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用(1)的结论，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F(b)-F(a)=\frac{1}{2}(b-a)(F'(a)+F'(b))-\frac{1}{12}(b-a)^3 F'''(\xi)$。代入 $F(b)=\int_a^b f(x)dx$，$F(a)=0$，$F'(a)=F'(b)=0$，$F'''(\xi)=f''(\xi)$，得 $\int_a^b f(x)dx = -\frac{1}{12}(b-a)^3 f''(\xi)$。
公式：$\int_a^b f(x)dx = -\frac{1}{12}(b-a)^3 f''(\xi)$
提示：注意符号：$(a-b)^3 = -(b-a)^3$，所以结果可写为 $\frac{1}{12}(a-b)^3 f''(\xi)$。
步骤 7/7
目标：整理最终结果
将等式右边改写为 $\frac{1}{12}(a-b)^3 f''(\xi)$，即得 $\int_a^b f(x)dx = \frac{f''(\xi)}{12}(a-b)^3$。
公式：$\int_a^b f(x)dx = \frac{f''(\xi)}{12}(a-b)^3$
提示：注意$(a-b)^3$与$(b-a)^3$的关系，确保符号正确。
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