上册 3.2 微分中值问题 第50题
📝 题目
50．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶导函数连续，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明 $\exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导连续，$f^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(b)$ ．求证存在 $\xi \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 为 $[a, b]$ 上的三阶可导函数，
$$
F(a)=0, F^{\prime}(x)=f(x), F^{\prime \prime}(x)=f^{\prime}(x), F^{\prime \prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x),
$$
$$
F^{\prime \prime}(a)=f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=F^{\prime \prime}(b)=0
$$
将 $F(x)$ 在 $x=a$ 展开为三阶泰勒公式：
$$
\begin{aligned}
F(x) & =F(a)+F^{\prime}(a)(x-a)+\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(a)(x-a)^{2}+\frac{1}{3!} F^{\prime \prime \prime}\left(\eta_{1}\right)(x-a)^{3} \\
& =f(a)(x-a)+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime}\left(\eta_{1}\right)(x-a)^{3}, \eta_{1} \in(a, x)
\end{aligned}
$$
令 $x=b$ ，则
$$
F(b)=f(a)(b-a)+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime}\left(\eta_{1}\right)(b-a)^{3}
$$
将 $F(x)$ 在 $x=b$ 泰勒展开，
$$
F(x)=F(b)+f(b)(x-b)+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime}\left(\eta_{2}\right)(x-b)^{3}, \eta_{2} \in(x, b)
$$
令 $x=a$ ，则
$$
0=F(a)=F(b)+f(b)(a-b)+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime}\left(\eta_{2}\right)(a-b)^{3}
$$
从而
$$
F(b)=f(b)(b-a)+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime}\left(\eta_{2}\right)(b-a)^{3}
$$
于是
$$
F(b)=f(b)(b-a)+\frac{1}{2} \frac{1}{3!}\left(f^{\prime \prime}\left(\eta_{1}\right)+f^{\prime \prime}\left(\eta_{2}\right)\right)(b-a)^{3}
$$
根据导函数的介值性，$\exists \xi \in\left[\eta_{1}, \eta_{2}\right] \subset(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime \prime}\left(\eta_{1}\right)+f^{\prime \prime}\left(\eta_{2}\right)}{2}$ ，从而
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)
$$
（2）将 $f(x)$ 在 $x=a$ 泰勒展开
$$
f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a)(x-a)^{2}+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime \prime}\left(\eta_{1}\right)(x-a)^{3}, \eta_{1} \in(a, x)
$$
将 $f(x)$ 在 $x=b$ 泰勒展开
$$
f(x)=f(b)+f^{\prime}(b)(x-b)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(b)(x-b)^{2}+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime \prime}\left(\eta_{2}\right)(x-b)^{3}, \eta_{2} \in(x, b)
$$
令 $\displaystyle x=\frac{1}{2}(a+b)$ ，则
$$
\begin{aligned}
& f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(a)+\frac{1}{2} f^{\prime}(a)(b-a)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a)\left(\frac{a+b}{2}-a\right)^{2}+\frac{1}{3!8} \frac{1}{8} f^{\prime \prime}\left(\eta_{1}\right)(b-a)^{3} \\
& f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(b)-\frac{1}{2} f^{\prime}(b)(b-a)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(b)\left(\frac{a+b}{2}-b\right)^{2}-\frac{1}{3!} \frac{1}{8} f^{\prime \prime \prime}\left(\eta_{2}\right)(b-a)^{3}
\end{aligned}
$$
于是
$$
f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{48}(b-a)^{3}\left(f^{m}\left(\eta_{2}\right)+f^{m}\left(\eta_{1}\right)\right)
$$
根据导函数的介值性，$\exists \xi \in\left[\eta_{1}, \eta_{2}\right] \subset(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(\eta_{1}\right)+f^{\prime \prime \prime}\left(\eta_{2}\right)}{2}$ ，从而
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime \prime}(\xi)
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助函数并求导
令 $F(x)=\int_a^x f(t) dt$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上三阶可导，且 $F(a)=0$，$F'(x)=f(x)$，$F''(x)=f'(x)$，$F'''(x)=f''(x)$。由条件 $f'(a)=f'(b)=0$ 得 $F''(a)=F''(b)=0$。
公式：$F(x)=\int_a^x f(t) dt$
提示：注意 $F''(a)=f'(a)=0$，$F''(b)=f'(b)=0$。
步骤 2/8
目标：在 $x=a$ 处展开 $F(x)$ 为三阶泰勒公式
将 $F(x)$ 在 $x=a$ 处展开：$F(x)=F(a)+F'(a)(x-a)+\frac{1}{2}F''(a)(x-a)^2+\frac{1}{3!}F'''(\eta_1)(x-a)^3$，其中 $\eta_1\in(a,x)$。代入 $F(a)=0$，$F'(a)=f(a)$，$F''(a)=0$ 得 $F(x)=f(a)(x-a)+\frac{1}{6}f''(\eta_1)(x-a)^3$。令 $x=b$，得 $F(b)=f(a)(b-a)+\frac{1}{6}f''(\eta_1)(b-a)^3$。
公式：$F(x)=f(a)(x-a)+\frac{1}{6}f''(\eta_1)(x-a)^3$
提示：注意泰勒公式的余项是拉格朗日型，$\eta_1$ 依赖于 $x$。
步骤 3/8
目标：在 $x=b$ 处展开 $F(x)$ 为三阶泰勒公式
将 $F(x)$ 在 $x=b$ 处展开：$F(x)=F(b)+F'(b)(x-b)+\frac{1}{2}F''(b)(x-b)^2+\frac{1}{3!}F'''(\eta_2)(x-b)^3$，其中 $\eta_2\in(x,b)$。代入 $F'(b)=f(b)$，$F''(b)=0$ 得 $F(x)=F(b)+f(b)(x-b)+\frac{1}{6}f''(\eta_2)(x-b)^3$。令 $x=a$，得 $0=F(a)=F(b)+f(b)(a-b)+\frac{1}{6}f''(\eta_2)(a-b)^3$，整理得 $F(b)=f(b)(b-a)+\frac{1}{6}f''(\eta_2)(b-a)^3$。
公式：$F(b)=f(b)(b-a)+\frac{1}{6}f''(\eta_2)(b-a)^3$
提示：注意 $(a-b)^3=-(b-a)^3$，移项时符号要小心。
步骤 4/8
目标：合并两个表达式并利用介值性
将两个 $F(b)$ 表达式相加：$2F(b)=(b-a)(f(a)+f(b))+\frac{1}{6}(b-a)^3(f''(\eta_1)+f''(\eta_2))$，所以 $F(b)=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))+\frac{1}{12}(b-a)^3\cdot\frac{f''(\eta_1)+f''(\eta_2)}{2}$。由于 $f''(x)$ 连续，由介值定理，存在 $\xi\in[\eta_1,\eta_2]\subset(a,b)$ 使得 $f''(\xi)=\frac{f''(\eta_1)+f''(\eta_2)}{2}$。代入得 $\int_a^b f(x)dx=F(b)=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^3f''(\xi)$。
公式：$\int_a^b f(x)dx=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^3f''(\xi)$
提示：注意 $\eta_1$ 和 $\eta_2$ 的大小关系不确定，但 $\xi$ 可取在它们之间。
步骤 5/8
目标：证明第二问：在 $x=a$ 处展开 $f(x)$
将 $f(x)$ 在 $x=a$ 处展开为三阶泰勒公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\frac{1}{6}f'''(\eta_1)(x-a)^3$，其中 $\eta_1\in(a,x)$。令 $x=\frac{a+b}{2}$，得 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(a)+\frac{1}{2}f'(a)(b-a)+\frac{1}{8}f''(a)(b-a)^2+\frac{1}{48}f'''(\eta_1)(b-a)^3$。
公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\frac{1}{6}f'''(\eta_1)(x-a)^3$
提示：注意 $(\frac{a+b}{2}-a)^2=\frac{(b-a)^2}{4}$，$(\frac{a+b}{2}-a)^3=\frac{(b-a)^3}{8}$。
步骤 6/8
目标：在 $x=b$ 处展开 $f(x)$
将 $f(x)$ 在 $x=b$ 处展开：$f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+\frac{1}{2}f''(b)(x-b)^2+\frac{1}{6}f'''(\eta_2)(x-b)^3$，其中 $\eta_2\in(x,b)$。令 $x=\frac{a+b}{2}$，得 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(b)-\frac{1}{2}f'(b)(b-a)+\frac{1}{8}f''(b)(b-a)^2-\frac{1}{48}f'''(\eta_2)(b-a)^3$。
公式：$f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+\frac{1}{2}f''(b)(x-b)^2+\frac{1}{6}f'''(\eta_2)(x-b)^3$
提示：注意 $(\frac{a+b}{2}-b)^2=\frac{(b-a)^2}{4}$，$(\frac{a+b}{2}-b)^3=-\frac{(b-a)^3}{8}$。
步骤 7/8
目标：两式相减并利用 $f''(a)=f''(b)$
将两个 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ 表达式相减（或消去 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$），得 $0=f(a)-f(b)+\frac{1}{2}(b-a)(f'(a)+f'(b))+\frac{1}{8}(b-a)^2(f''(a)-f''(b))+\frac{1}{48}(b-a)^3(f'''(\eta_1)+f'''(\eta_2))$。由 $f''(a)=f''(b)$ 得 $f''(a)-f''(b)=0$，所以 $f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)(f'(a)+f'(b))+\frac{1}{48}(b-a)^3(f'''(\eta_1)+f'''(\eta_2))$。
公式：$f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)(f'(a)+f'(b))+\frac{1}{48}(b-a)^3(f'''(\eta_1)+f'''(\eta_2))$
提示：注意移项时符号，$f(a)-f(b)$ 变为 $-(f(b)-f(a))$。
步骤 8/8
目标：利用介值性得到结论
由于 $f'''(x)$ 连续，由介值定理，存在 $\xi\in[\eta_1,\eta_2]\subset(a,b)$ 使得 $f'''(\xi)=\frac{f'''(\eta_1)+f'''(\eta_2)}{2}$。代入上式得 $f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)(f'(a)+f'(b))+\frac{1}{24}(b-a)^3f'''(\xi)$。
公式：$f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)(f'(a)+f'(b))+\frac{1}{24}(b-a)^3f'''(\xi)$
提示：注意 $\frac{1}{48}\times2=\frac{1}{24}$。
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