上册 3.2 微分中值问题 第52题
📝 题目
52．设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可微分两次，且 $f^{\prime \prime}(\xi) \neq 0, \xi \in(a, b)$ ．证明在 $(a, b)$ 上可以找到两点 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(\xi)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
不妨设 $f^{\prime \prime}(\xi)>0$ ，则存在 $\delta>0,(\xi-\delta, \xi+\delta) \in(a, b)$ ，使得
$$
\frac{f(\xi+\delta)-f(\xi)}{\delta}>f^{\prime}(\xi)>\frac{f(\xi)-f(\xi-\delta)}{\delta} .
$$
记 $\displaystyle m_{1}=\frac{f(\xi+\delta)-f(\xi)}{\delta}, m_{0}=f^{\prime}(\xi), m_{2}=\frac{f(\xi)-f(\xi-\delta)}{\delta}, m^{\prime}=\frac{f(\xi+\delta)-f(\xi-\delta)}{2 \delta}$ ．
若 $m_{0}=m^{\prime}$ ，则取 $x_{2}=(\xi+\delta), x_{1}=(\xi-\delta)$ 即可．
若 $m_{0}>m^{\prime}$ ，则 $m_{1}>m_{0}>m^{\prime}$ ．作函数 $\displaystyle g(x)=\frac{f\left(x_{2}\right)-f(x)}{x_{2}-x}$ ，则 $g(x)$ 连续，且
$$
g\left(x_{1}\right)=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=m^{\prime}, g(\xi)=\frac{f\left(x_{2}\right)-f(\xi)}{x_{2}-\xi}=m_{1} .
$$
由介值定理，存在 $x_{0} \in\left(x_{1}, \xi\right)$ 使得 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{2}-x_{0}}=m_{0}=f^{\prime}(\xi)$ ．
若 $m_{0}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设二阶导数正，构造邻域不等式
不妨设 $f''(\xi)>0$，则存在 $\delta>0$ 使得 $(\xi-\delta,\xi+\delta)\subset(a,b)$，且由导数的定义，有
$$
\frac{f(\xi+\delta)-f(\xi)}{\delta}>f'(\xi)>\frac{f(\xi)-f(\xi-\delta)}{\delta}.
$$
公式：导数定义：$f'(\xi)=\lim_{h\to0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}$
提示：注意二阶导数非零的条件用于确定单调性，这里假设正，负情况类似。
步骤 2/5
目标：定义三个斜率并分类讨论
记 $m_1=\frac{f(\xi+\delta)-f(\xi)}{\delta}$，$m_0=f'(\xi)$，$m_2=\frac{f(\xi)-f(\xi-\delta)}{\delta}$，$m'=\frac{f(\xi+\delta)-f(\xi-\delta)}{2\delta}$。
若 $m_0=m'$，则取 $x_2=\xi+\delta$，$x_1=\xi-\delta$ 即可。
提示：注意 $m'$ 是区间 $[\xi-\delta,\xi+\delta]$ 上的平均斜率。
步骤 3/5
目标：情况一：$m_0>m'$
若 $m_0>m'$，则 $m_1>m_0>m'$。固定 $x_2=\xi+\delta$，定义函数 $g(x)=\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$，$x\in[x_1,\xi]$，其中 $x_1=\xi-\delta$。则 $g$ 连续，且
$$
g(x_1)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m',\quad g(\xi)=\frac{f(x_2)-f(\xi)}{x_2-\xi}=m_1.
$$
由介值定理，存在 $x_0\in(x_1,\xi)$ 使得 $g(x_0)=m_0=f'(\xi)$，即
$$
\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}=f'(\xi).
$$
取 $x_1=x_0$，$x_2$ 不变即得证。
公式：介值定理：连续函数在区间端点取不同值，则中间值必被取到。
提示：注意 $g(x)$ 的定义域和连续性，$x_2$ 固定。
步骤 4/5
目标：情况二：$m_0
若 $m_0
公式：介值定理
提示：注意与情况一的对称性，固定端点不同。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，无论 $m_0$ 与 $m'$ 的关系如何，总存在 $x_1,x_2\in(a,b)$ 使得
$$
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi).
$$
若 $f''(\xi)<0$，类似可证。
提示：注意 $x_1,x_2$ 的具体取法依赖于 $m_0$ 与 $m'$ 的比较。
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