上册 3.2 微分中值问题 第53题
📝 题目
53．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续可导，且对 $\forall x \in(a, b)$ 有 $F(x)=f^{\prime}(x) g(x)- f(x) g^{\prime}(x)>0$ 。证明：（1）$f(x), g(x)$ 不可能有相同的零点；（2）$f(x)$ 的相邻零点之间必有 $g(x)$ 的零点．
（2）设二元函数 $f(x, y), g(x, y)$ 定义在紧集 $K$ 上且有连续一阶偏导数，对 $\forall(x, y) \in K$ ，有 $f_{x} g_{y}-f_{y} g_{x} \neq 0$ ．证明：在 $K$ 内同时满足 $f(x, y)=0, g(x, y)=0$ 的点至多只有有限个．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）若 $f(x), g(x)$ 有相同的零点 $\xi$ ，即 $f(\xi)=g(\xi)=0$ ，则 $F(\xi)=0$ ，与已知矛盾．
下证：$f(x)$ 的相邻零点之间必有 $g(x)$ 的零点。
假设结论不成立，则存在 $a
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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