上册 3.2 微分中值问题 第54题
📝 题目
54．设在 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 连续且可导，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界， $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在。求证存在数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset(0,1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 使得 $f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
先证：对任一自然数 $n, f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{n}\right)$ 内有零点。否则，若存在 $n_{0}, f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{n_{0}}\right)$ 内没有零点，由导数介值定理，知 $f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{n_{0}}\right)$ 内不变号。于是 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{n_{0}}\right)$ 内单调，又 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界，因此 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 存在，矛盾．
于是对任一自然数 $n, f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{n}\right)$ 内有零点，记为 $x_{n}$ ，即 $\displaystyle 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：反证法假设
假设存在某个自然数 $n_0$，使得 $f'(x)$ 在区间 $(0, \frac{1}{n_0})$ 内没有零点。
提示：注意反证法的假设是结论的反面，即存在某个区间内导数无零点。
步骤 2/6
目标：应用导数介值定理
由于 $f'(x)$ 在 $(0, \frac{1}{n_0})$ 内没有零点，且 $f'(x)$ 具有介值性（达布定理），因此 $f'(x)$ 在 $(0, \frac{1}{n_0})$ 内不变号，即恒正或恒负。
公式：达布定理：若 $f$ 可导，则 $f'$ 具有介值性。
提示：导数不一定连续，但具有介值性，这是关键。
步骤 3/6
目标：推出单调性
由 $f'(x)$ 在 $(0, \frac{1}{n_0})$ 内不变号，可知 $f(x)$ 在 $(0, \frac{1}{n_0})$ 内单调（若 $f'(x)>0$ 则严格递增，若 $f'(x)<0$ 则严格递减）。
提示：单调性由导数的符号决定，但需注意导数可能为零的点已被排除。
步骤 4/6
目标：利用有界性导出极限存在
由于 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界，故在 $(0, \frac{1}{n_0})$ 上也有界。单调有界函数必有极限，因此 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在（有限或无穷，但有界排除了无穷）。
公式：单调有界准则：单调有界数列（函数）必有极限。
提示：注意函数在0点无定义，但极限存在是指当 $x \to 0^+$ 时。
步骤 5/6
目标：与已知条件矛盾
已知 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在，与上述推导出的极限存在矛盾。因此假设不成立，即对任意自然数 $n$，$f'(x)$ 在 $(0, \frac{1}{n})$ 内必有零点。
提示：矛盾点要明确：假设导致极限存在，与题设矛盾。
步骤 6/6
目标：构造数列
对每个自然数 $n$，取 $x_n \in (0, \frac{1}{n})$ 使得 $f'(x_n)=0$。则 $\{x_n\} \subset (0,1)$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，满足 $f'(x_n)=0$。
提示：注意 $x_n$ 的选取不唯一，但存在性已保证。
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