上册 3.2 微分中值问题 第55题
📝 题目
55．设 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(a x^{2}+b x+c\right), x \in \mathbf{R}$ ，满足 $c(b-c) \geqslant 0$ ．证明存在非负单调数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，使得 $f^{(n)}\left(x_{n}\right)=0, n \geqslant 1$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\begin{aligned}
& f(0)=c, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a x^{2}+b x+c}{\mathrm{e}^{x}}=0 \\
& f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(2 a x+b-\left(a x^{2}+b x+c\right)\right)=\mathrm{e}^{-x}\left(-a x^{2}+(2 a-b) x+(b-c)\right), f^{\prime}(0)=b-c
\end{aligned}
$$
由莱布尼兹公式得 $f^{(k)}(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(a_{k} x^{2}+b_{k} x+c_{k}\right)$ ．于是 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(k)}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{-x}\left(a_{k} x^{2}+b_{k} x+c_{k}\right)=0$ ．
（1）当 $c(b-c)=0$ 时，$c=0$ 或 $(b-c)=0$ ．
若 $c=0$ ，则 $f(0)=0$ ．由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 及罗尔定理，存在 $x_{1}$ 使 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$ ．
若 $(b-c)=0$ ，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．取 $x_{1}=0$ ，此时 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$ ．
（2）当 $c(b-c)>0$ 时，$b>c>0$ 或 $bc>0$ ，则 $f(0)=c>0, f^{\prime}(0)=b-c>0$ 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值点，记为 $x_{1}$ ，也是极大值点，于是 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$ ．
若 $b
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数及其导数的极限和初始值
给定 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}(a x^{2}+b x+c)$，计算 $f(0)=c$，且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$。求导得 $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}(-a x^{2}+(2a-b)x+(b-c))$，故 $f'(0)=b-c$。
公式：$f'(x)=\mathrm{e}^{-x}(-a x^{2}+(2a-b)x+(b-c))$
提示：注意求导时使用乘积法则，并正确合并指数项。
步骤 2/5
目标：利用莱布尼兹公式得到高阶导数形式
由莱布尼兹公式，$f^{(k)}(x)=\mathrm{e}^{-x}(a_k x^{2}+b_k x+c_k)$，其中 $a_k,b_k,c_k$ 为常数。因此对任意 $k$，$\lim_{x\to+\infty}f^{(k)}(x)=0$。
公式：$f^{(k)}(x)=\mathrm{e}^{-x}(a_k x^{2}+b_k x+c_k)$
提示：注意指数函数 $\mathrm{e}^{-x}$ 衰减快于多项式，故极限为0。
步骤 3/5
目标：处理 $c(b-c)=0$ 的情形，构造 $x_1$
若 $c(b-c)=0$，则 $c=0$ 或 $b-c=0$。
- 若 $c=0$，则 $f(0)=0$，且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，由罗尔定理，存在 $x_1>0$ 使 $f'(x_1)=0$。
- 若 $b-c=0$，则 $f'(0)=0$，取 $x_1=0$。
提示：注意 $x_1$ 可能为0，需单独考虑。
步骤 4/5
目标：处理 $c(b-c)>0$ 的情形，构造 $x_1$
若 $c(b-c)>0$，则 $b>c>0$ 或 $bc>0$，则 $f(0)=c>0$，$f'(0)=b-c>0$，且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，故 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值点 $x_1$，满足 $f'(x_1)=0$。
- 若 $b
提示：注意利用极限和初始值判断极值存在性。
步骤 5/5
目标：递推构造高阶导数的零点
已知 $f'(x_1)=0$，且 $\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$。对 $f'$ 应用罗尔定理的推广（或反复应用罗尔定理），存在 $x_2>x_1$ 使得 $f''(x_2)=0$。同理，由于 $\lim_{x\to+\infty}f''(x)=0$，存在 $x_3>x_2$ 使得 $f'''(x_3)=0$。依此类推，得到非负单调递增数列 $\{x_n\}$，满足 $f^{(n)}(x_n)=0$。
提示：注意每次应用罗尔定理时，需要函数在区间端点值相等（均为0），且极限为0保证了无穷远处可视为端点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。