上册 3.2 微分中值问题 第56题
📝 题目
56．设 $a, b, c$ 为三个实数，证明方程 $\mathrm{e}^{x}=a x^{2}+b x+c$ 的根不超过三个．
提示：反证法，假设有四个（或四个以上）根，用 Rolle 定理便可推出三阶导数在某点等于零，不盾．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\left(a x^{2}+b x+c\right)$ ．若 $f(x)$ 的零点超过三个，不妨设 $x_{1}0$ ，矛盾。结论得证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造函数并假设有四个零点
设 $f(x) = e^x - (ax^2 + bx + c)$。假设方程 $e^x = ax^2 + bx + c$ 有四个不同的实根，即 $f(x)$ 有四个不同的零点，记为 $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$，满足 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=0$。
提示：注意零点必须互异，否则无法应用罗尔定理。
步骤 2/6
目标：应用罗尔定理得到一阶导数的三个零点
由于 $f(x)$ 在 $[x_1, x_2]$ 上连续，在 $(x_1, x_2)$ 内可导，且 $f(x_1)=f(x_2)$，由罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (x_1, x_2)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$。同理，存在 $\xi_2 \in (x_2, x_3)$ 和 $\xi_3 \in (x_3, x_4)$ 使得 $f'(\xi_2)=0$，$f'(\xi_3)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f(a)=f(b)$，则存在 $c\in(a,b)$ 使得 $f'(c)=0$。
提示：确保每个区间端点函数值相等，这里因为都是零点所以相等。
步骤 3/6
目标：再次应用罗尔定理得到二阶导数的两个零点
由于 $f'(x)$ 在 $[\xi_1, \xi_2]$ 上连续可导，且 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$，由罗尔定理，存在 $\eta_1 \in (\xi_1, \xi_2)$ 使得 $f''(\eta_1)=0$。同理，存在 $\eta_2 \in (\xi_2, \xi_3)$ 使得 $f''(\eta_2)=0$。
提示：注意区间端点是一阶导数的零点，而不是原函数的零点。
步骤 4/6
目标：第三次应用罗尔定理得到三阶导数的零点
由于 $f''(x)$ 在 $[\eta_1, \eta_2]$ 上连续可导，且 $f''(\eta_1)=f''(\eta_2)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (\eta_1, \eta_2)$ 使得 $f'''(\xi)=0$。
提示：注意这里 $\xi$ 是 $f'''$ 的零点，不是原函数的零点。
步骤 5/6
目标：计算三阶导数并导出矛盾
计算 $f(x)$ 的三阶导数：$f'(x)=e^x - 2ax - b$，$f''(x)=e^x - 2a$，$f'''(x)=e^x$。因此 $f'''(\xi)=e^\xi > 0$ 对所有实数 $\xi$ 成立，这与 $f'''(\xi)=0$ 矛盾。
公式：$f'''(x)=e^x$
提示：注意 $e^x$ 恒正，不可能为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
矛盾表明假设不成立，因此方程 $e^x = ax^2 + bx + c$ 的根不能超过三个。
提示：反证法：假设有四个根导致矛盾，所以最多三个根。
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