上册 3.2 微分中值问题 第57题
📝 题目
57．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)=0$ 至多只有一个实根，则方程 $f(x)=0$ 最多只有两个实根．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(x)$ 的每个零点都是简单零点（即若 $f\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ）．证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上只有有限个零点．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）反证法：若 $f(x)=0$ 不只两个实根，不妨设有三个 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$（设 $x_{1}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：第(1)问：反证法假设
假设方程 $f(x)=0$ 至少有三个实根，设 $x_1 < x_2 < x_3$ 满足 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0$。
提示：注意假设的是至少三个根，而不是恰好三个。
步骤 2/7
目标：第(1)问：应用罗尔定理
在区间 $[x_1, x_2]$ 和 $[x_2, x_3]$ 上分别应用罗尔定理，存在 $ξ_1 \in (x_1, x_2)$ 和 $ξ_2 \in (x_2, x_3)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$ 和 $f'(\xi_2)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
提示：确保 $f$ 在闭区间上连续，开区间内可导，且端点函数值相等。
步骤 3/7
目标：第(1)问：导出矛盾
得到 $f'(x)=0$ 有两个不同的实根 $ξ_1$ 和 $ξ_2$，与题设“$f'(x)=0$ 至多只有一个实根”矛盾。因此假设不成立，方程 $f(x)=0$ 最多只有两个实根。
提示：注意矛盾点：$f'(x)=0$ 的根个数与题设冲突。
步骤 4/7
目标：第(2)问：反证法假设
假设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有无穷多个零点，记这些零点为 ${ x_n } \subset [0,1]$，满足 $f(x_n)=0$。
提示：无穷多个零点意味着存在一个点列，每个点都是零点。
步骤 5/7
目标：第(2)问：利用致密性定理
由于 $[0,1]$ 是有界闭区间，点列 ${ x_n }$ 必有收敛子列 ${ x_{n_k} }$，设其极限为 $x_0 \in [0,1]$。由 $f$ 的连续性得 $f(x_0)=0$。
公式：致密性定理：有界数列必有收敛子列。
提示：注意 $x_0$ 也在 $[0,1]$ 内，且 $f(x_0)=0$ 是因为连续函数保持极限。
步骤 6/7
目标：第(2)问：计算导数
由导数定义，$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。取子列 $x_{n_k} \to x_0$，则 $f'(x_0) = \lim_{k \to \infty} \frac{f(x_{n_k})-f(x_0)}{x_{n_k}-x_0} = \lim_{k \to \infty} \frac{0-0}{x_{n_k}-x_0} = 0$。
公式：导数定义：$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
提示：注意 $f(x_{n_k})=0$ 且 $f(x_0)=0$，所以分子恒为0，极限为0。
步骤 7/7
目标：第(2)问：导出矛盾
得到 $f'(x_0)=0$，但题设要求每个零点都是简单零点，即若 $f(x_0)=0$ 则 $f'(x_0) \neq 0$，矛盾。因此假设不成立，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上只有有限个零点。
提示：注意简单零点的定义：$f(x_0)=0 \Rightarrow f'(x_0) \neq 0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。