上册 3.2 微分中值问题 第58题
📝 题目
58．证明下列结论．
（1）设 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ 为满足 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$ 的实数。证明方程 $a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根．
（2）设 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $\displaystyle a_{1}-\frac{1}{3} a_{2}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n-1} a_{n}=0$ 。证明方程 $a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+ a_{n} \cos (2 n-1) x=0$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个实根．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）构造函数 $\displaystyle f(x)=a_{0} x+\frac{a_{1}}{2} x^{2}+\frac{a_{2}}{3} x^{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导．
又 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$ ．由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f^{\prime}(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根．又 $f^{\prime}(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}$ ，所以方程 $a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根．
（2）分析：若令 $f(x)=a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+a_{n} \cos (2 n-1) x$ ，由于不易判断 $f(0)$ 与 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的符号，所以不能利用连续函数介值性定理，可考虑利用罗尔定理。证明如下：
设 $\displaystyle f(x)=a_{1} \sin x+\frac{a_{2}}{3} \sin 3 x+\cdots+\frac{a_{n}}{2 n-1} \sin (2 n-1) x$ ，则在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上，
$$
f^{\prime}(x)=a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+a_{n} \cos (2 n-1) x \text {, 且 } f(0)=0, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \text {. }
$$
由 Rolle 中值定理，至少存在一点 $\displaystyle \xi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+a_{n} \cos (2 n-1) x=0$在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个根 $\xi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并验证端点值
对于第（1）问，构造辅助函数 $f(x)=a_0 x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$。则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。计算 $f(0)=0$，$f(1)=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$。
提示：注意构造的辅助函数求导后恰好得到原多项式，且端点值均为0。
步骤 2/5
目标：应用罗尔定理得到导数零点
由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=0$。而 $f'(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，因此方程 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
公式：罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
提示：注意 $f'(x)$ 正是原方程左边，不要混淆。
步骤 3/5
目标：分析第（2）问并构造辅助函数
对于第（2）问，考虑构造辅助函数 $f(x)=a_1\sin x+\frac{a_2}{3}\sin 3x+\cdots+\frac{a_n}{2n-1}\sin(2n-1)x$。则 $f(x)$ 在 $[0,\pi/2]$ 上连续，在 $(0,\pi/2)$ 内可导。
提示：注意利用三角函数的导数关系：$(\sin kx)' = k\cos kx$，因此构造时除以系数 $k$。
步骤 4/5
目标：验证辅助函数端点值
计算 $f(0)=a_1\cdot0+\frac{a_2}{3}\cdot0+\cdots+\frac{a_n}{2n-1}\cdot0=0$。计算 $f(\pi/2)=a_1\sin\frac{\pi}{2}+\frac{a_2}{3}\sin\frac{3\pi}{2}+\cdots+\frac{a_n}{2n-1}\sin\frac{(2n-1)\pi}{2}$。由于 $\sin\frac{(2k-1)\pi}{2}=(-1)^{k+1}$，所以 $f(\pi/2)=a_1-\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{5}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{a_n}{2n-1}=0$（由已知条件）。
公式：$\sin\frac{(2k-1)\pi}{2}=(-1)^{k+1}$
提示：注意符号规律：当 $k$ 为奇数时 $\sin=1$，偶数时 $\sin=-1$，因此 $(-1)^{k+1}$。
步骤 5/5
目标：应用罗尔定理得到导数零点
由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,\pi/2)$ 使得 $f'(\xi)=0$。而 $f'(x)=a_1\cos x+a_2\cos 3x+\cdots+a_n\cos(2n-1)x$，因此方程 $a_1\cos x+a_2\cos 3x+\cdots+a_n\cos(2n-1)x=0$ 在 $(0,\pi/2)$ 内至少有一个实根。
提示：注意 $f'(x)$ 正是原方程左边，且 $\xi$ 即为所求根。
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