上册 3.3 导数的估值 第8题
📝 题目
8．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）若 $f(x) \equiv 0$ ，则结论自然成立．不妨设 $f(x) \not \equiv 0$ ．
由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上连续，而 $f(a)=f(b)=0$ ，故 $|f(x)|$ 的最大值必在 $(a, b)$ 内取到，且其最大值点 $x_{0}$ 必为 $f(x)$ 的最大值点或最小值点，从而为 $f(x)$ 的极值点．由 Fermat 定理得 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
将 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处展开，并以 $x=a$ 和 $x=b$ 代人得
$$
\begin{aligned}
& f(a)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(a-x_{0}\right)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)\left(a-x_{0}\right)^{2}, \xi \in\left(a, x_{0}\right) \\
& f(b)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(b-x_{0}\right)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\eta)\left(b-x_{0}\right)^{2}, \eta \in\left(x_{0}, b\right)
\end{aligned}
$$
将 $f(a)=f(b)=0, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ 代人上面两式得到
$$
\left|f\left(x_{0}\right)\right| \leqslant \frac{1}{2}\left(a-x_{0}\right)^{2} \max _{a
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：处理平凡情况并确定最大值点性质
若 $f(x) \equiv 0$，则结论显然成立。否则，$|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)=f(b)=0$，故最大值在 $(a,b)$ 内某点 $x_0$ 取得。$x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，由Fermat定理，$f'(x_0)=0$。
公式：Fermat定理：若 $f$ 在 $x_0$ 可导且取极值，则 $f'(x_0)=0$。
提示：注意 $|f|$ 的最大值点不一定是 $f$ 的极值点，但若 $f$ 连续且端点为零，则最大值点必为 $f$ 的极值点。
步骤 2/6
目标：在最大值点处进行泰勒展开
将 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶泰勒展开，并代入 $x=a$ 和 $x=b$：
$$
f(a)=f(x_0)+f'(x_0)(a-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi)(a-x_0)^2,\quad \xi\in(a,x_0)
$$
$$
f(b)=f(x_0)+f'(x_0)(b-x_0)+\frac{1}{2}f''(\eta)(b-x_0)^2,\quad \eta\in(x_0,b)
$$
公式：泰勒公式：$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2$
提示：注意余项是拉格朗日型，$\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间。
步骤 3/6
目标：利用端点条件化简
由 $f(a)=f(b)=0$ 和 $f'(x_0)=0$，得：
$$
0 = f(x_0) + \frac{1}{2}f''(\xi)(a-x_0)^2,\quad 0 = f(x_0) + \frac{1}{2}f''(\eta)(b-x_0)^2
$$
因此
$$
|f(x_0)| \leq \frac{1}{2}(a-x_0)^2 \max_{a
提示：注意绝对值不等式：$|f(x_0)| = \frac{1}{2}|f''(\xi)|(a-x_0)^2 \leq \frac{1}{2}(a-x_0)^2 \max|f''|$。
步骤 4/6
目标：根据 $x_0$ 的位置选择不等式
若 $x_0 \in (a, \frac{a+b}{2})$，则 $(a-x_0)^2 < \frac{1}{4}(b-a)^2$；若 $x_0 \in [\frac{a+b}{2}, b)$，则 $(b-x_0)^2 \leq \frac{1}{4}(b-a)^2$。因此总有
$$
|f(x_0)| \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}(b-a)^2 \max|f''| = \frac{1}{8}(b-a)^2 \max|f''|
$$
提示：注意区间长度的一半的平方是 $(b-a)^2/4$。
步骤 5/6
目标：完成第一问证明
由于 $\max_{a
提示：注意最大值符号的写法。
步骤 6/6
目标：应用第一问结论到第二问
由条件 $|f''(x)| \leq 4$，代入第一问结论：
$$
\max_{a \leq x \leq b}|f(x)| \leq \frac{1}{8}(b-a)^2 \cdot 4 = \frac{1}{2}(b-a)^2
$$
因此
$$
\left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leq \max_{a \leq x \leq b}|f(x)| \leq \frac{1}{2}(b-a)^2
$$
得证。
提示：注意端点包含在闭区间内，最大值可能出现在端点，但端点值为0，不影响。
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