上册 3.3 导数的估值 第9题
📝 题目
9．设 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且 $\left|g^{\prime \prime}(x)\right| \geqslant m>0$（ $m$ 为常数），又 $g(a)=g(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $|g(x)|$ 在 $[a, b]$ 上连续，而 $g(a)=g(b)=0$ ，故 $|g(x)|$ 的最大值必在 $(a, b)$ 内取到，且其最大值点 $\xi$ 必为 $g(x)$ 的最大值点或最小值点，也为 $g(x)$ 的极值点．由 Fermat定理得 $g^{\prime}(\xi)=0$ 。
将 $g(x)$ 在 $x=\xi$ 处展开得
$\displaystyle g(x)=g(\xi)+g^{\prime}(\xi)(x-\xi)+\frac{1}{2} g^{\prime \prime}(\eta)(x-\xi)^{2}=g(\xi)+\frac{1}{2} g^{\prime \prime}(\eta)(x-\xi)^{2}$ ，其中 $\eta$ 介于 $x$ 与 $\xi$ 之间．
若 $\displaystyle \xi \leqslant \frac{a+b}{2}$ ，取 $x=b$ 得 $\displaystyle g(\xi)=-\frac{1}{2} g^{\prime \prime}(\eta)(b-\xi)^{2}$ ．从而有
$$
|g(\xi)|=\frac{1}{2}\left|g^{\prime \prime}(\eta)\right|(b-\xi)^{2} \geqslant \frac{1}{2} \cdot m \cdot\left(b-\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\frac{m}{8}(b-a)^{2}
$$
若 $\displaystyle \xi>\frac{a+b}{2}$ ，取 $x=a$ ，同样有 $\displaystyle |g(\xi)| \geqslant \frac{m}{8}(b-a)^{2}$ ．
综上， $\displaystyle \max _{a
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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