上册 3.3 导数的估值 第10题
📝 题目
10．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且有有限导数，$f(x)$ 是非线性函数．证明：在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(x)$ 是非线性函数．试证：存在 $\xi \in(a, b)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$ 且不恒为常数．证明：存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\zeta)>0, f^{\prime}(\eta)<0$ 。
（4）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(x)$ 是非线性函数，$f(a)=f(b)$ ．试证：存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（5）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(x)$ 是非线性函数，$f(a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的充要条件是 $f(x)$ 不是常数或线性函数．
（7）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$\displaystyle c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．试证：函数 $f(x)$ 具备下述性质中的一个：
（1）存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)>c$ ；
（2）对 $\forall x \in[a, b]$ 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
可采用统一的方法证明．
方法 1：分析：曲线弦的方程为 $\displaystyle y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ ．令
$$
F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),
$$
则 $F(x)$ 不恒为零，且 $F(a)=F(b)=0$ ．问题转化为：$\exists \xi \in(a, b)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)>0$ 或 $F^{\prime}(\xi)<0$ ．证明如下：
令 $\displaystyle F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ ，则 $F(a)=F(b)=0$ ，且当 $a0$ ．
在 $\left[a, c_{1}\right]$ 上应用拉格朗日定理得 $\displaystyle F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{F\left(c_{1}\right)-F(a)}{c_{1}-a}=\frac{F\left(c_{1}\right)}{c_{1}-a}>0$ ，即 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ；
在 $\left[c_{1}, b\right]$ 上应用拉格朗日定理得 $\displaystyle F^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{F(b)-F\left(c_{1}\right)}{b-c_{1}}=-\frac{F\left(c_{1}\right)}{b-c_{1}}<0$ ，即 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．
因而当 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \geqslant 0$ 时，取 $c=\xi_{1}$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ；
当 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}<0$ 时，取 $c=\xi_{2}$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ．
方法 2：由于 $f(x)$ 是非线性函数，所以在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$ 使得 $(c, f(c))$ 不在 $(a, f(a)),(b, f(b))$ 的连线上。假设 $(c, f(c))$ 在 $(a, f(a)),(b, f(b))$ 的连线的上方，则
$$
\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>\frac{f(b)-f(c)}{b-c}
$$
利用 Lagrange 中值定理，存在 $\xi_{1} \in(a, c), \xi_{2} \in(c, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ 。所以
$$
\max \left\{\left|f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)\right|,\left|f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)\right|\right\}>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|
$$
当 $(c, f(c))$ 在 $(a, f(a)),(b, f(b))$ 的连线下方时同理可证．
几何意义：在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导的非线性函数，必定在某点切线斜率的绝对值大于 $[a, b]$ 间割线斜率的绝对值．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数
令 $F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，则 $F(a)=F(b)=0$，且 $F(x)$ 不恒为零（因为 $f(x)$ 是非线性函数）。
公式：$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
提示：注意 $F(x)$ 的构造：减去弦的方程，使得端点值为0。
步骤 2/6
目标：找到非零点
由于 $F(x)$ 不恒为零，存在 $c_1\in(a,b)$ 使得 $F(c_1)\neq0$。不妨设 $F(c_1)>0$（若 $F(c_1)<0$，类似可证）。
提示：注意非零点的存在性：若 $F(x)$ 恒为零，则 $f(x)$ 是线性函数，与非线性矛盾。
步骤 3/6
目标：在左区间应用拉格朗日中值定理
在 $[a,c_1]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1\in(a,c_1)$ 使得 $F'(\xi_1)=\frac{F(c_1)-F(a)}{c_1-a}=\frac{F(c_1)}{c_1-a}>0$。即 $f'(\xi_1)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0$，故 $f'(\xi_1)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
公式：拉格朗日中值定理：$F'(\xi)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$
提示：注意 $F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
步骤 4/6
目标：在右区间应用拉格朗日中值定理
在 $[c_1,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_2\in(c_1,b)$ 使得 $F'(\xi_2)=\frac{F(b)-F(c_1)}{b-c_1}=-\frac{F(c_1)}{b-c_1}<0$。即 $f'(\xi_2)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<0$，故 $f'(\xi_2)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意 $F(b)=0$，所以分子为 $-F(c_1)$。
步骤 5/6
目标：证明绝对值不等式
若 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\geq0$，则取 $c=\xi_1$，有 $f'(c)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\geq0$，故 $|f'(c)|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$。若 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<0$，则取 $c=\xi_2$，有 $f'(c)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<0$，故 $|f'(c)|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$。
提示：注意绝对值不等式的方向：当斜率非负时用左点，负时用右点。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在 $c\in(a,b)$ 使得 $\left|f'(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$。
提示：结论成立的关键是 $f$ 非线性，保证 $F$ 不恒为零。
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