上册 3.3 导数的估值 第12题
📝 题目
12．证明下列命题．
（1）设 $f(x) \in C[a, b]$ 在 $(a, b)$ 内二次可导，$f(a)=f(b)$ ，且存在一点 $c \in(a, b)$ 使 $f(c)>f(a)$ ．试证明：存在两点 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0, f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)<0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。若存在一点 $c \in(a, b)$ 使 $f(c)>0$ ，证明：至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
（3）设 $f(x) \in C[a, b]$ 在 $(a, b)$ 内二次可导，且存在一点 $c \in(a, b)$ 使 $f(c)>\max \{f(a), f(b)\}$ ．试证明：存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
可采用统一的方法证明．
由已知得 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内达到最大值 $M$ ，故存在 $x_{0} \in(a, b)$ 使 $f\left(x_{0}\right)=M, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ， $f(a)=f(b)0$ ；
存在 $x_{2} \in\left(x_{0}, b\right)$ 使得 $f(b)-f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right)\left(b-x_{0}\right)$ 。于是 $f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ；
存在 $\xi_{1} \in\left(x_{1}, x_{0}\right)$ 使得 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)\left(x_{0}-x_{1}\right)$ 。于是 $f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0$ ；
存在 $\xi_{2} \in\left(x_{0}, x_{2}\right)$ 使得 $f^{\prime}\left(x_{2}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)$ 。于是 $f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)<0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定最大值点
由条件 $f(c) > f(a)$ 且 $f(a)=f(b)$，可知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值大于端点值。由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，故存在最大值点 $x_0 \in (a,b)$，使得 $f(x_0) = M > f(a)=f(b)$。由费马定理，在可导点 $x_0$ 处有 $f'(x_0)=0$。
公式：费马定理：若 $f$ 在 $x_0$ 处可导且取极值，则 $f'(x_0)=0$。
提示：注意最大值点可能在内部，因为端点值不是最大。
步骤 2/7
目标：利用拉格朗日中值定理得到一阶导数符号
在区间 $[a, x_0]$ 上应用拉格朗日中值定理：存在 $x_1 \in (a, x_0)$ 使得 $f(x_0)-f(a) = f'(x_1)(x_0-a)$。由于 $f(x_0) > f(a)$ 且 $x_0 > a$，故 $f'(x_1) > 0$。
在区间 $[x_0, b]$ 上应用拉格朗日中值定理：存在 $x_2 \in (x_0, b)$ 使得 $f(b)-f(x_0) = f'(x_2)(b-x_0)$。由于 $f(b) < f(x_0)$ 且 $b > x_0$，故 $f'(x_2) < 0$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
提示：注意 $f(a)=f(b)$，但 $f(x_0)$ 大于它们，所以差值的符号决定导数符号。
步骤 3/7
目标：再次应用拉格朗日中值定理得到二阶导数符号（一）
在区间 $[x_1, x_0]$ 上应用拉格朗日中值定理：存在 $\xi_1 \in (x_1, x_0)$ 使得 $f'(x_0)-f'(x_1) = f''(\xi_1)(x_0-x_1)$。由于 $f'(x_0)=0$，$f'(x_1)>0$，故左边为负，而 $x_0-x_1>0$，所以 $f''(\xi_1)<0$。
公式：拉格朗日中值定理用于导数：$f'(b)-f'(a)=f''(\xi)(b-a)$
提示：注意 $f'(x_0)=0$ 是关键。
步骤 4/7
目标：再次应用拉格朗日中值定理得到二阶导数符号（二）
在区间 $[x_0, x_2]$ 上应用拉格朗日中值定理：存在 $\xi_2 \in (x_0, x_2)$ 使得 $f'(x_2)-f'(x_0) = f''(\xi_2)(x_2-x_0)$。由于 $f'(x_2)<0$，$f'(x_0)=0$，故左边为负，而 $x_2-x_0>0$，所以 $f''(\xi_2)<0$。
公式：同上
提示：注意区间端点顺序，保证差值为正。
步骤 5/7
目标：总结（1）的结论
由以上两步，我们找到了两个点 $\xi_1 \in (x_1, x_0)$ 和 $\xi_2 \in (x_0, x_2)$，使得 $f''(\xi_1)<0$ 且 $f''(\xi_2)<0$。命题（1）得证。
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是不同的点。
步骤 6/7
目标：证明（2）
（2）是（1）的特例，因为 $f(a)=f(b)=0$，且存在 $c$ 使 $f(c)>0$，所以 $f(c)>f(a)=f(b)$。由（1）的证明过程，存在 $\xi_1, \xi_2$ 使二阶导数为负，特别地，至少存在一点 $\xi$（例如 $\xi_1$）使 $f''(\xi)<0$。
提示：注意（2）只需证明存在一点，而（1）证明了两个点。
步骤 7/7
目标：证明（3）
条件 $f(c) > \max\{f(a), f(b)\}$ 意味着最大值在内部达到。同样，存在 $x_0 \in (a,b)$ 使得 $f(x_0)$ 为最大值，且 $f'(x_0)=0$。由于 $f(x_0) \ge f(c) > f(a)$ 且 $f(x_0) > f(b)$，重复（1）中从 $a$ 到 $x_0$ 或 $x_0$ 到 $b$ 的步骤，即可得到存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)<0$。实际上，只需取一侧（例如 $a$ 到 $x_0$）即可，因为 $f(x_0) > f(a)$，所以存在 $x_1 \in (a,x_0)$ 使 $f'(x_1)>0$，然后存在 $\xi \in (x_1,x_0)$ 使 $f''(\xi)<0$。
提示：注意（3）中 $f(a)$ 和 $f(b)$ 不一定相等，但最大值点 $x_0$ 至少大于其中一个端点值，因此可以选取对应的一侧进行证明。
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