上册 3.3 导数的估值 第13题

\section*{解题过程：} （1）由已知条件，在 $[a, b]$ 区间内存在一点 $c$ 使得 $f(c)-f(b)>0$ ．由拉格朗 $\|$ 中值定理，$\exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}>0$ ． （2）由于 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{x-a}>0$ ，由保号性，存在 $\delta>0$ 使得 $f(x)>0$ ， $x \in(a, a+\delta)$ ．于是在 $(a, b)$ 区间内存在一点 $c$ 使得 $f(c)>0$ ．由拉格朗日中值定理，存在 $\xi>a$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=\frac{f(c)}{c-a}>0$. （3）由已知条件，在 $[a, b]$ 区间内存在一点 $c$ 使得 $f(c)-f(a)>0$ ，即 $f(c)>0$ ．将区间 $[a, b]$ 分成两子区间 $[a, c],[c, b]$ ，在两子区间上分别应用拉格朗日中值定理得 $$ f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=\frac{f(c)}{c-a}>0, f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=\frac{-f(c)}{b-c}<0 $$ 由于 $f^{\prime}(x)$ 在 $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]$ 上连续，在 $\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)$ 上可导，应用拉格朗目中值定理，存在一点 $\xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \subset(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)-f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}{\xi_{2}-\xi_{1}}<0$ 。 （4）由积分中值定理，存在 $\eta \in(2,3), f(2)>f(\eta)=\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ ． 由微分中值定理，存在 $\xi_{1} \in(2, \eta), \xi_{2} \in(1,2)$ 使得 $$ f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{f(\eta)-f(2)}{\eta-2}<0, f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}>0 . $$ 由于 $f^{\prime}(x)$ 在 $\left[\xi_{2}, \xi_{1}\right]$ 上连续，在 $\left(\xi_{2}, \xi_{1}\right)$ 上可导，再应用拉格朗日中值定理，存在一点 $\xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \subset(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)-f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}{\xi_{2}-\xi_{1}}<0$ 。