上册 3.3 导数的估值 第15题
📝 题目
15．证明下列命题．
（1）若函数 $f(x)$ 在有限区域 $(a, b)$ 内可导，但无界，则其导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内必无界．
（2）设函数 $f(x)$ 在有限区域 $(a, b)$ 内可导，并且 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．证明 $f(x)$在 $(a, b)$ 内有界．
（3）构造一个在闭区间 $[-1,1]$ 处处可微的函数使得它的导数在 $[-1,1]$ 上无界．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）用反证法。假设 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，即 $\exists M>0$ ，使得 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M, \forall x \in(a, b)$ 。在区间 $(a, b)$ 内任意取定一点 $x_{0}$ ，则 $\forall x \in(a, b)$ ，由微分中值定理
$$
f(x)-f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x-x_{0}\right) \text {, 其中 } \xi \text { 介于 } x \text { 与 } x_{0} \text { 之间. }
$$
由此式及有界性假设得
$$
|f(x)| \leqslant\left|f\left(x_{0}\right)\right|+M\left|x-x_{0}\right| \leqslant\left|f\left(x_{0}\right)\right|+M(b-a) .
$$
此表明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界，矛盾。故 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内也必无界。
（2）为（1）的逆否命题。
取定 $x_{0} \in(a, b)$ ．由中值定理，$f(x)-f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x-x_{0}\right)$ ．于是
$$
|f(x)| \leqslant\left|f\left(x_{0}\right)\right|+\left|f^{\prime}(\xi)\right|\left|x-x_{0}\right| \leqslant\left|f\left(x_{0}\right)\right|+\sup _{(a, b)}\left|f^{\prime}(\xi)\right|(b-a)
$$
所以 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．
（3）取 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}}, x \in[-1,0) \cup(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 可导，且
$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}
2 x \sin \frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^{2}}, x \neq 0, \\
0, x=0,
\end{array}\right.
$$
但由于 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{n \pi}}\right)=-2 \sqrt{n \pi}(-1)^{n}$ ，故 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上无界。
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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