上册 3.3 导数的估值 第16题

\section*{解题过程：} （1）因为 $x \mathrm{e}^{-x^{2}} f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，所以 $x \mathrm{e}^{-x^{2}} f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有界。只需证明 $x \mathrm{e}^{-x^{2}} f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 与 $(1,+\infty)$ 上有界．以 $(1,+\infty)$ 为例进行证明．$(-\infty,-1)$ 的情况类似） 设 $x>1$ 为任意数，则 $x^{2}>x>1, \mathrm{e}^{x^{2}}>\mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}$ ． $$ \left|x \mathrm{e}^{-x^{2}} f(x)\right|=\left|\frac{x f(x)-f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}}+\frac{f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}}\right| \leqslant\left|\frac{x f(x)-f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}-\mathrm{e}}\right|+\left|\frac{f(1)}{\mathrm{e}}\right| . $$ 由 Cauchy 中值定理 $$ \begin{array}{r} \left|\frac{x f(x)-f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}-\mathrm{e}}\right|=\left|\frac{(x f(x))^{\prime}}{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right)^{\prime}}\right|_{x=\xi}=\left|\frac{f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)}{2 \xi \mathrm{e}^{\xi^{2}}}\right| \leqslant \frac{1}{2}\left|\mathrm{e}^{-\xi^{2}} f^{\prime}(\xi)\right|+\frac{1}{2}\left|\mathrm{e}^{-\xi^{2}} \frac{f(\xi)-f(0)}{\xi-0}\right|+\frac{1}{2}\left|\frac{f(0)}{\xi \mathrm{e}^{\xi^{2}}}\right|, \\ 1<\xi2$ 时，由 Cauchy 中值定理 $$ \left|\mathrm{e}^{-x} f(x)\right|<\frac{|f(x)-f(1)|}{\mathrm{e}^{x}}+\frac{|f(1)|}{\mathrm{e}^{2}}<\frac{|f(x)-f(1)|}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{1}}+\frac{|f(1)|}{\mathrm{e}^{2}}=\left|\mathrm{e}^{-\xi} f^{\prime}(\xi)\right|+\frac{|f(1)|}{\mathrm{e}^{2}} . $$ 因 $\mathrm{e}^{-x} f^{\prime}(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上有界，故 $\mathrm{e}^{-x} f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 也是有界的。所以 $\mathrm{e}^{-x} f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有界。 （3）由 $f^{\prime}(x)=O(x), x \rightarrow+\infty, \exists M>0$ 使 $\displaystyle \left|\frac{f^{\prime}(x)}{x}\right| \leqslant M, x \in(0,+\infty)$ ．下证：$f(x)=O\left(x^{2}\right), \quad x \rightarrow+\infty$ ．取 $a>0$ ，由中值定理，$\exists \xi \in(a, x)$ 使 $f(x)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(x-a)$ ． $$ \left|\frac{f(x)}{x^{2}}\right| \leqslant \frac{|f(a)|}{x^{2}}+\frac{\left|f^{\prime}(\xi)(x-a)\right|}{x^{2}} \leqslant \frac{|f(a)|}{x^{2}}+\left|\frac{f^{\prime}(\xi)}{\xi}\right| \cdot \frac{|\xi(x-a)|}{x^{2}} \leqslant \frac{|f(a)|}{x^{2}}+M . $$ 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^{2}}=0$ ，故 $\exists M^{\prime}>0$ 使 $\displaystyle \frac{|f(a)|}{x^{2}} \leqslant M^{\prime}, x \in(0,+\infty)$ ．于是 $$ \left|\frac{f(x)}{x^{2}}\right| \leqslant \frac{|f(a)|}{x^{2}}+\frac{\left|f^{\prime}(\xi)(x-a)\right|}{x^{2}} \leqslant \frac{|f(a)|}{x^{2}}+\left|\frac{f^{\prime}(\xi)}{\xi}\right| \cdot \frac{|\xi(x-a)|}{x^{2}} \leqslant M^{\prime}+M $$ 故 $f(x)=O\left(x^{2}\right), x \rightarrow+\infty$ ．