上册 3.3 导数的估值 第17题
📝 题目
17．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一阶可微，$f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递减．证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$在 $(0,+\infty)$ 内单调递减．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{x}$ ，则 $\displaystyle F^{\prime}(x)=\frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}$ ．又 $f(0)=0$ ，由 Lagrange 中值定理及 $f^{\prime}(x)$ 单调递减得
$$
f(x)=f(x)-f(0)=f^{\prime}(\xi) \cdot x \geqslant f^{\prime}(x) \cdot x
$$
从而 $F^{\prime}(x) \leqslant 0$ ，即 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并求导
令 $F(x)=\frac{f(x)}{x}$，则 $F(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导。求导得 $F'(x)=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2}$。
公式：$F'(x)=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2}$
提示：注意分母 $x^2$ 为正，因此 $F'(x)$ 的符号由分子 $x f'(x)-f(x)$ 决定。
步骤 2/5
目标：利用已知条件转化分子
由 $f(0)=0$，对任意 $x>0$，在区间 $[0,x]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ 使得 $f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)$，即 $f(x)=f'(\xi)x$。
公式：$f(x)=f'(\xi)x$，其中 $\xi \in (0,x)$
提示：注意中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，本题条件满足。
步骤 3/5
目标：利用单调性比较导数
由于 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递减，且 $\xi < x$，所以 $f'(\xi) \geq f'(x)$。代入上式得 $f(x)=f'(\xi)x \geq f'(x)x$。
公式：$f(x) \geq f'(x)x$
提示：单调递减意味着自变量越大函数值越小，因此 $\xi < x$ 时 $f'(\xi) \geq f'(x)$。
步骤 4/5
目标：判断导数的符号
由 $f(x) \geq f'(x)x$ 得 $x f'(x)-f(x) \leq 0$，因此 $F'(x)=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2} \leq 0$。
公式：$F'(x) \leq 0$
提示：注意不等号方向：$f(x) \geq f'(x)x$ 移项得 $x f'(x)-f(x) \leq 0$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因为 $F'(x) \leq 0$ 对任意 $x>0$ 成立，所以 $F(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递减。
提示：导数小于等于零说明函数单调递减，但需注意严格单调递减需导数小于零，这里等号可能成立（例如 $f(x)=kx$ 时导数为零），但题目只要求单调递减。
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