上册 3.3 导数的估值 第18题
📝 题目
18．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 为奇函数，在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ 。证明： （1）$F(x)$ 为奇函数，（2）$F(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．
（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，并且是单调增加的奇函数，又设 $g(x)=\int_{0}^{x}(2 t-x) f(x-t) \mathrm{d} t$ ．试判断 $g(x)$ 的单调性和奇偶性并证明之．
（3）设 $f(x)$ 为奇函数，在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $F(x)=\int_{0}^{x}(x-3 t) f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： （1）$F(x)$ 为奇函数，（2）$F(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．
（4）证明：若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，$f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 为 $(0,+\infty)$ 上的严格单调递增．
（5）证明：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续递增，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in(a, b], \text { 则 } F(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的 } \\ f(a), x=a,\end{array}\right.$单调增函数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $t=-u$ ，则
$$
F(-x)=\int_{0}^{-x}(-x-2 t) f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}(2 u-x) f(-u)(-\mathrm{d} u)=-\int_{0}^{x}(x-2 u) f(u) \mathrm{d} u
$$
即 $F(-x)=-F(x)$ ，所以 $F(x)$ 为奇函数．
$$
\begin{aligned}
& F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t=x \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-2 \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t . \\
& F^{\prime}(x)=x f(x)-2 x f(x)+\int_{0}^{x} f(\mathrm{t}) \mathrm{d} t=x(f(\zeta)-f(x)), \zeta \text { 在 } 0 \text { 与 } x \text { 之间. }
\end{aligned}
$$
若 $x>0$ ，则 $0<\zeta0$ ，则 $0<\zeta0
\end{aligned}
$$
所以 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为严格递增．
（5）因为 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a)=F(a)$ ，所以 $F$ 在 $x=a$ 连续．
又因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续递增，所以 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} f(x) \mathrm{d} t=f(x)(x-a)$ ．于是对任何 $x \in(a, b)$ 有
$$
F^{\prime}(x)=\frac{f(x)(x-a)-\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{(x-a)^{2}} \geqslant 0
$$
从而 $F(x)$ 为 $(a, b)$ 上的增函数．又因 $F(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 连续，所以 $F$ 为 $[a, b]$ 上的增函数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明F(x)为奇函数
令 $t=-u$，则 $F(-x)=\int_{0}^{-x}(-x-2t)f(t)dt=\int_{0}^{x}(2u-x)f(-u)(-du)=-\int_{0}^{x}(x-2u)f(u)du=-F(x)$，故 $F(x)$ 为奇函数。
公式：$F(-x)=-F(x)$
提示：注意积分限变换时符号的变化，以及奇函数性质 $f(-u)=-f(u)$。
步骤 2/7
目标：求F(x)的导数并判断单调性
$F(x)=x\int_{0}^{x}f(t)dt-2\int_{0}^{x}tf(t)dt$，求导得 $F'(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+xf(x)-2xf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt-xf(x)$。由积分中值定理，存在 $\zeta\in(0,x)$ 使得 $\int_{0}^{x}f(t)dt=xf(\zeta)$，故 $F'(x)=x(f(\zeta)-f(x))$。由于 $f$ 单调递增，当 $x>0$ 时 $f(\zeta)\le f(x)$，所以 $F'(x)\le 0$，$F(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。
公式：$F'(x)=x(f(\zeta)-f(x))$
提示：注意积分中值定理的条件：$f$ 连续，$\zeta$ 在0与x之间。
步骤 3/7
目标：判断g(x)的奇偶性和单调性
令 $x-t=u$，则 $g(x)=\int_{0}^{x}(2t-x)f(x-t)dt=\int_{x}^{0}(x-2u)f(u)(-du)=\int_{0}^{x}(x-2u)f(u)du$，与(1)中 $F(x)$ 形式相同，故 $g(x)$ 为奇函数且在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。
公式：$g(x)=\int_{0}^{x}(x-2u)f(u)du$
提示：变量代换时注意积分上下限的变化。
步骤 4/7
目标：证明F(x)为奇函数（系数3）
令 $t=-u$，则 $F(-x)=\int_{0}^{-x}(-x-3t)f(t)dt=\int_{0}^{x}(3u-x)f(-u)(-du)=-\int_{0}^{x}(x-3u)f(u)du=-F(x)$，故 $F(x)$ 为奇函数。
公式：$F(-x)=-F(x)$
提示：与(1)类似，注意系数变化不影响奇偶性。
步骤 5/7
目标：求F(x)的导数并判断单调性（系数3）
$F(x)=x\int_{0}^{x}f(t)dt-3\int_{0}^{x}tf(t)dt$，求导得 $F'(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+xf(x)-3xf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt-2xf(x)$。由积分中值定理，存在 $\zeta\in(0,x)$ 使得 $\int_{0}^{x}f(t)dt=xf(\zeta)$，故 $F'(x)=x(f(\zeta)-2f(x))$。由于 $f$ 单调递增，当 $x>0$ 时 $f(\zeta)\le f(x)\le 2f(x)$，所以 $F'(x)\le 0$，$F(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。
公式：$F'(x)=x(f(\zeta)-2f(x))$
提示：注意此处 $f(\zeta)-2f(x)$ 可能为负，需利用 $f(x)>0$ 或单调性判断。
步骤 6/7
目标：证明φ(x)严格单调递增
补充定义 $\varphi(0)=0$。求导：$\varphi'(x)=\frac{xf(x)\int_{0}^{x}f(t)dt-f(x)\int_{0}^{x}tf(t)dt}{(\int_{0}^{x}f(t)dt)^2}=\frac{f(x)\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt}{(\int_{0}^{x}f(t)dt)^2}>0$，因为 $f(x)>0$ 且 $(x-t)f(t)>0$ 在 $(0,x)$ 内，故 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递增。
公式：$\varphi'(x)=\frac{f(x)\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt}{(\int_{0}^{x}f(t)dt)^2}$
提示：注意分母为正，分子中积分内 $(x-t)f(t)>0$，故导数大于0。
步骤 7/7
目标：证明F(x)在[a,b]上单调递增
首先验证连续性：$\lim_{x\to a^+}F(x)=\lim_{x\to a^+}\frac{1}{x-a}\int_a^x f(t)dt=f(a)=F(a)$，故 $F$ 在 $x=a$ 连续。对 $x\in(a,b)$，求导得 $F'(x)=\frac{f(x)(x-a)-\int_a^x f(t)dt}{(x-a)^2}$。由于 $f$ 递增，$\int_a^x f(t)dt\le f(x)(x-a)$，故 $F'(x)\ge 0$，$F$ 在 $(a,b)$ 上递增。结合端点连续性，$F$ 在 $[a,b]$ 上单调递增。
公式：$F'(x)=\frac{f(x)(x-a)-\int_a^x f(t)dt}{(x-a)^2}\ge 0$
提示：注意 $f$ 递增保证 $\int_a^x f(t)dt\le f(x)(x-a)$，从而导数非负。
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