上册 3.3 导数的估值 第19题
📝 题目
19．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 存在，$f^{\prime \prime}(x)+2 f^{\prime}(x)+f(x)>0$ ．求证：$f(x) \leqslant 0, \forall x \in(0,1)$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上可导，满足：存在常数 $\mu>0$ 使 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{\mu}{|x|^{2005}}$ ， $x^{2004}\left|x f^{\prime}(x)+x f(x)+2005 f(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：$\left|x^{2005} f(x)\right| \leqslant 1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $F(x)=\mathrm{e}^{x} f(x)$ ，则 $F(0)=f(0)=0, F(1)=\mathrm{e} f(1)=0$ ．由罗尔定理，存在 $c \in(0,1)$ 使
$$
F^{\prime}(c)=\mathrm{e}^{c}\left(f(c)+f^{\prime}(c)\right)=0
$$
因
$$
F^{\prime \prime}(x)=\left(\mathrm{e}^{x} f(x)\right)^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{x}\left(f^{\prime \prime}(x)+2 f^{\prime}(x)+f(x)\right)>0
$$
故 $F^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 单调增加。于是当 $x>c$ 时，$F^{\prime}(x) \geqslant F^{\prime}(c)=0$ ，当 $x
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数F(x)并应用罗尔定理
令 $F(x)=e^x f(x)$，则 $F(0)=f(0)=0$，$F(1)=e f(1)=0$。由罗尔定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $F'(c)=0$。计算 $F'(x)=e^x(f(x)+f'(x))$，故 $F'(c)=e^c(f(c)+f'(c))=0$。
公式：F(x)=e^x f(x)
提示：注意验证F(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且端点值相等。
步骤 2/7
目标：分析F''(x)的符号
计算 $F''(x)=(e^x f(x))''=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))$。由已知 $f''(x)+2f'(x)+f(x)>0$，且 $e^x>0$，故 $F''(x)>0$ 在 $(0,1)$ 成立。因此 $F'(x)$ 在 $(0,1)$ 严格单调递增。
公式：F''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))
提示：注意二阶导数大于0可推出导函数单调递增。
步骤 3/7
目标：判断F'(x)的符号区间
由于 $F'(c)=0$ 且 $F'(x)$ 严格递增，则当 $x \in (0,c)$ 时 $F'(x)<0$；当 $x \in (c,1)$ 时 $F'(x)>0$。因此 $F(x)$ 在 $(0,c)$ 递减，在 $(c,1)$ 递增，$x=c$ 为极小值点。
提示：注意单调性与导函数符号的关系。
步骤 4/7
目标：得出f(x)≤0的结论
由于 $F(0)=F(1)=0$，且 $F(x)$ 在 $x=c$ 取极小值，故 $F(c) \leq F(x) \leq F(0)=0$ 对所有 $x \in [0,1]$ 成立。特别地，$F(x) \leq 0$，即 $e^x f(x) \leq 0$，从而 $f(x) \leq 0$。
提示：注意极小值不一定小于端点值，但此处端点值为0，且极小值点唯一，故极小值即最小值。
步骤 5/7
目标：构造辅助函数并求导
令 $F(x)=e^x x^{2005} f(x)$，则 $F(0)=0$。求导得 $F'(x)=e^x x^{2004}(x f'(x)+x f(x)+2005 f(x))$。由已知条件 $|x^{2004}(x f'(x)+x f(x)+2005 f(x))| \leq 1$，故 $|F'(x)| \leq e^x$。
公式：F(x)=e^x x^{2005} f(x)
提示：注意求导时使用乘积法则，并正确提取公因子。
步骤 6/7
目标：积分得到F(x)的界
由 $|F'(x)| \leq e^x$ 得 $-e^x \leq F'(x) \leq e^x$。对 $x$ 从 $0$ 到 $x$ 积分（注意 $F(0)=0$）：$\int_0^x -e^t dt \leq F(x) \leq \int_0^x e^t dt$，即 $1-e^x \leq F(x) \leq e^x-1$。
公式：∫_0^x e^t dt = e^x-1
提示：积分时注意上下限，以及常数项处理。
步骤 7/7
目标：转化为目标不等式
将 $F(x)=e^x x^{2005} f(x)$ 代入得 $1-e^x \leq e^x x^{2005} f(x) \leq e^x-1$。两边除以 $e^x$（$e^x>0$）得 $e^{-x}-1 \leq x^{2005} f(x) \leq 1-e^{-x}$。由于 $e^{-x}-1 > -1$ 且 $1-e^{-x} < 1$，故 $|x^{2005} f(x)| \leq 1$。
提示：注意 $e^{-x}-1$ 和 $1-e^{-x}$ 的范围，确保绝对值不等式成立。
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