上册 3.3 导数的估值 第20题
📝 题目
20．设 $f(x)$ 为 $(-1,1)$ 上的无穷次可导函数，$f(0)=1,\left|f^{\prime}(0)\right| \leqslant 2$ ．令 $\displaystyle g(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ ， $\left|g^{(n)}(0)\right| \leqslant 2 n!$ ．证明：对所有正整数 $n,\left|f^{(n)}(0)\right| \leqslant(n+1)!$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由题设知 $f^{\prime}(x)=g(x) f(x)$ 。两边对 $x$ 求 $m$ 阶导数，由莱布尼兹公式知
$$
f^{(m+1)}(x)=\sum_{k=0}^{m} \mathrm{C}_{m}^{k} g^{(k)}(x) f^{(m-k)}(x)
$$
当 $n=1$ 时，$\left|f^{\prime}(0)\right| \leqslant 2=(1+1)$ ！，命题成立．
假设 $1 \leqslant n \leqslant m$ 时，$\left|f^{(n)}(0)\right| \leqslant(n+1)$ ！．当 $n=m+1$ 时有
$$
\begin{aligned}
\left|f^{(m+1)}(0)\right| & =\left|\sum_{k=0}^{m} \mathrm{C}_{m}^{k} g^{(k)}(0) f^{(m-k)}(0)\right| \leqslant \sum_{k=0}^{m} \mathrm{C}_{m}^{k} \cdot 2 k!\cdot(m-k+1)! \\
& =\sum_{k=0}^{m} \frac{m!}{k!\cdot(m-k)!} \cdot 2 k!\cdot(m-k+1)!=2 m!\sum_{k=0}^{m}(m-k+1)
\end{aligned}
$$
$$
=2 m!\cdot \frac{(m+1)(m+2)}{2}=(m+2)!
$$
由数学归纳法，对所有 $n \in \mathbf{N}^{+},\left|f^{(n)}(0)\right| \leqslant(n+1)!$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立递推关系
由题设 $f'(x)=g(x)f(x)$。两边对 $x$ 求 $m$ 阶导数，利用莱布尼兹公式得：
$$f^{(m+1)}(x)=\sum_{k=0}^{m} \mathrm{C}_{m}^{k} g^{(k)}(x) f^{(m-k)}(x)$$
公式：莱布尼兹公式：$(uv)^{(m)}=\sum_{k=0}^m \mathrm{C}_m^k u^{(k)} v^{(m-k)}$
提示：注意莱布尼兹公式中组合数的写法，以及求导阶数对应关系。
步骤 2/7
目标：验证基础情况 n=1
当 $n=1$ 时，由已知条件 $|f'(0)|\leq 2$，而 $(1+1)!=2$，所以 $|f'(0)|\leq (1+1)!$ 成立。
提示：基础情况是归纳法的起点，需确认条件直接给出。
步骤 3/7
目标：归纳假设
假设对于所有 $1\leq n\leq m$，有 $|f^{(n)}(0)|\leq (n+1)!$ 成立。
提示：归纳假设的范围要明确，这里假设到 m 阶。
步骤 4/7
目标：估计 m+1 阶导数在0处的值
利用递推关系，令 $x=0$，得：
$$|f^{(m+1)}(0)|=\left|\sum_{k=0}^{m} \mathrm{C}_{m}^{k} g^{(k)}(0) f^{(m-k)}(0)\right|$$
由三角不等式和已知条件 $|g^{(k)}(0)|\leq 2k!$ 及归纳假设 $|f^{(m-k)}(0)|\leq (m-k+1)!$，得：
$$|f^{(m+1)}(0)|\leq \sum_{k=0}^{m} \mathrm{C}_{m}^{k} \cdot 2k! \cdot (m-k+1)!$$
公式：三角不等式：$|\sum a_i|\leq \sum |a_i|$
提示：注意绝对值不等式的方向，以及组合数 $\mathrm{C}_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$。
步骤 5/7
目标：化简求和表达式
将组合数展开：
$$\mathrm{C}_{m}^{k} \cdot 2k! \cdot (m-k+1)! = \frac{m!}{k!(m-k)!} \cdot 2k! \cdot (m-k+1)! = 2m! (m-k+1)$$
因此：
$$|f^{(m+1)}(0)|\leq 2m! \sum_{k=0}^{m} (m-k+1)$$
公式：组合数公式：$\mathrm{C}_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$
提示：化简时注意约去 $k!$ 和 $(m-k)!$，得到简单的一次式。
步骤 6/7
目标：计算求和并得到最终不等式
计算求和：$\sum_{k=0}^{m} (m-k+1) = \sum_{j=1}^{m+1} j = \frac{(m+1)(m+2)}{2}$。
代入得：
$$|f^{(m+1)}(0)|\leq 2m! \cdot \frac{(m+1)(m+2)}{2} = m!(m+1)(m+2) = (m+2)!$$
公式：等差数列求和：$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意求和指标变换，$j=m-k+1$ 从1到m+1。
步骤 7/7
目标：归纳完成
由数学归纳法，对所有正整数 $n$，有 $|f^{(n)}(0)|\leq (n+1)!$ 成立。
提示：归纳法需明确基础步骤和归纳步骤，此处已完整证明。
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