上册 3.3 导数的估值 第22题
📝 题目
22．证明下列命题．
（1）若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，$f(0)=0, \forall x \in[0,+\infty)$ 有 $0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant f(x)$ ．证明 $f(x) \equiv 0$ ．
（2）若函数 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，且对一切 $x \in[a, b]$ 有 $\int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u \geqslant f(x) \geqslant 0$ ．证明 $f(x) \equiv 0$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，$f(x) \leqslant \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u, x \in \mathbf{R}$ 。证明 $f(x) \leqslant 0$ 。（广西师大 2005，河南师大
2012（［a，b］））
（4）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a)=0, f(x)>0, x \in(a, b]$ ．证明：不存在常数 $M \geqslant 0$ 使 $0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M f(x), x \in[a, b]$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $F(x)=\mathrm{e}^{-x} f(x), x \in[0,+\infty)$ ．由于 $F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(f^{\prime}(x)-f(x)\right) \leqslant 0$ ，因此 $F(x)$ 递减．于是
$$
F(x)=\mathrm{e}^{-x} f(x) \leqslant F(0)=0, x \geqslant 0 .
$$
所以 $f(x) \leqslant 0$ ．又因为 $f(x) \geqslant 0$ ，故 $f(x) \equiv 0$ ．
（2）令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ，则 $F(x) \geqslant F^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．由（1）得 $F(x)=\int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u \equiv 0$ ．又 $f(x) \geqslant 0$ ，所以 $f(x) \equiv 0$ ．
（3）令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ，则 $F(x) \geqslant F^{\prime}(x)$ ．由（1）得 $F(x) \leqslant 0$ ．于是
$$
f(x) \leqslant \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=F(x) \leqslant 0
$$
（4）反证法：若存在常数 $M \geqslant 0$ 使 $0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M f(x), x \in[a, b]$ ．
令 $F(x)=\mathrm{e}^{-M x} f(x), x \in[a, b]$ ，则 $F(a)=\mathrm{e}^{-M a} f(a)=0$ 。由于 $F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-M x}\left(f^{\prime}(x)-M f(x)\right) \leqslant 0$ ，因此 $F(x)$ 递减．于是 $F(x)=\mathrm{e}^{-M x} f(x) \leqslant F(a)=0, x \geqslant a$ ．所以 $f(x) \leqslant 0$ ．又因为 $f(x) \geqslant 0$ ，故 $f(x) \equiv 0$ ．矛盾．
📋 详细解题步骤
步骤 1/12
目标：构造辅助函数并求导
令 $F(x)=e^{-x}f(x)$，则 $F'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))$。由条件 $0\leq f'(x)\leq f(x)$ 得 $f'(x)-f(x)\leq 0$，故 $F'(x)\leq 0$，$F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减。
公式：$F'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))$
提示：注意 $f'(x)\leq f(x)$ 的符号处理，确保 $F'(x)\leq 0$。
步骤 2/12
目标：利用单调性得到不等式
由于 $F(x)$ 递减，对任意 $x\geq 0$ 有 $F(x)\leq F(0)=e^{0}f(0)=0$，即 $e^{-x}f(x)\leq 0$，从而 $f(x)\leq 0$。
公式：$F(x)\leq F(0)$
提示：注意 $f(0)=0$ 的使用。
步骤 3/12
目标：结合非负性得恒为零
已知 $f(x)\geq 0$，又 $f(x)\leq 0$，故 $f(x)=0$ 对所有 $x\in[0,+\infty)$ 成立，即 $f(x)\equiv 0$。
提示：不要忘记题目中隐含的非负条件。
步骤 4/12
目标：构造积分上限函数
令 $F(x)=\int_a^x f(u)du$，则 $F'(x)=f(x)$。条件 $\int_a^x f(u)du\geq f(x)\geq 0$ 化为 $F(x)\geq F'(x)\geq 0$。
公式：$F'(x)=f(x)$
提示：注意积分上限函数的导数公式。
步骤 5/12
目标：应用第(1)问结论
由第(1)问结论（将 $f$ 换为 $F$），$F(x)\equiv 0$，即 $\int_a^x f(u)du=0$ 对所有 $x\in[a,b]$ 成立。
提示：第(1)问中 $f(0)=0$ 对应此处 $F(a)=0$。
步骤 6/12
目标：由积分恒为零推出被积函数为零
由于 $f(x)\geq 0$ 且 $\int_a^x f(u)du=0$，对任意 $x$，取 $x$ 充分接近 $a$ 可得 $f(x)=0$（或由 $F'(x)=f(x)=0$ 直接得到）。
提示：注意连续函数非负且积分恒为零则函数恒为零。
步骤 7/12
目标：构造辅助函数并求导
令 $F(x)=\int_a^x f(u)du$，则 $F'(x)=f(x)$。条件 $f(x)\leq \int_a^x f(u)du$ 化为 $F'(x)\leq F(x)$。
公式：$F'(x)\leq F(x)$
提示：注意与第(1)问条件类似但不等号方向相反。
步骤 8/12
目标：利用第(1)问结论得到 $F(x)\leq 0$
由第(1)问的证明过程（注意第(1)问中 $f'(x)\leq f(x)$ 推出 $e^{-x}f(x)$ 递减，此处 $F'(x)\leq F(x)$ 类似），可得 $e^{-x}F(x)$ 递减，但 $F(a)=0$，故 $e^{-x}F(x)\leq 0$，即 $F(x)\leq 0$。
公式：$e^{-x}F(x)\leq 0$
提示：注意第(1)问中 $f(0)=0$ 对应此处 $F(a)=0$。
步骤 9/12
目标：结合条件得 $f(x)\leq 0$
由 $f(x)\leq \int_a^x f(u)du = F(x)\leq 0$，即得 $f(x)\leq 0$。
提示：注意不等号方向的一致性。
步骤 10/12
目标：反证法假设
假设存在常数 $M\geq 0$ 使得 $0\leq f'(x)\leq M f(x)$ 对 $x\in[a,b]$ 成立。
提示：反证法假设要明确。
步骤 11/12
目标：构造辅助函数并求导
令 $F(x)=e^{-Mx}f(x)$，则 $F'(x)=e^{-Mx}(f'(x)-M f(x))\leq 0$，故 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上递减。
公式：$F'(x)=e^{-Mx}(f'(x)-M f(x))$
提示：注意 $f'(x)\leq M f(x)$ 的使用。
步骤 12/12
目标：利用单调性推出矛盾
由 $F(x)$ 递减得 $F(x)\leq F(a)=e^{-Ma}f(a)=0$，即 $e^{-Mx}f(x)\leq 0$，故 $f(x)\leq 0$。但已知 $f(x)>0$ 对 $x\in(a,b]$，矛盾。因此假设不成立。
公式：$F(x)\leq F(a)$
提示：注意 $f(a)=0$ 但 $f(x)>0$ 对 $x>a$，矛盾。
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